波动率曲线Skew及风险逆转组合

　　
　　1. 股票价格对数收益率的分布
　　由伊藤引理，股票价格S和时间t的函数G服从以下过程：

　　令G=lnS
　　于是
　　从而
　　其中μ和σ为常数，G=lnS 是一个广义的维纳过程，从0到T时刻
　　于是，
　　因此，股票价格的对数收益率服从正态分布。
　　2. 偏度Skewness
　　在现实世界中，正态分布往往只是一个理想状态，真实分布的特征需要其他指标来辅助。偏度刻画的是一个分布的尾部不对称性，一般用样本的三阶中心距来定义。

　　当样本服从正态分布的时候，偏度为零，如图1所示：

　　当样本服从尖峰肥尾分布的时候，偏度也为零，但和正态分布不同：中间部分更高，左右两个尾巴更厚，如图2所示：

　　当分布的高峰向右偏移，长尾向左延伸时，分布为左偏，偏度为负，如图3所示：

　　当分布的高峰向左偏移，长尾向右侧延伸时，分布为右偏，偏度为正，如图4所示：

　　1987年后（美国黑色星期一），投资者开始意识到了市场中存在的尾部风险，CBOE制定了偏度指数来刻画市场对未来30天极端风险的预期。类似于vix指数，偏度指数也是根据虚值期权计算，它的值围绕100上下波动，当偏度指数为100时，标普500指数的对数收益率服从正态分布，尾部风险比较小；当偏度指数越高时，负偏程度就越大，分布左侧的尾巴就会更厚，黑天鹅出现的概率越高，投资者为了避险，对低行权价的认沽期权需求越高，导致这些期权的隐含波动率越来越高；当偏度指数越低时，正偏程度就越大。在美国，偏度指数一般在100到150之间。
　　3. 波动率曲线
　　波动率曲线刻画了期权的隐含波动率随着行权价格的变化情况，它的形态和股票价格对数收益率的分布相对应。
　　当股票价格的对数收益率服从正态分布的时候，意味着给定期限的对数收益率的标准差为常数，这满足了BS模型的假设条件，因此通过BS公式计算出来的隐含波动率曲线是一条水平线，如图5所示：

　　当股票价格对数收益率的分布呈现尖峰肥尾的时候，波动率曲线的两侧较高，中间较低，像一条微笑的曲线，股票价格小涨和小跌的概率较大，暴涨和暴跌的概率也较大，这时候左右两侧深度虚值的期权隐含波动率都比较高，如图6所示：

　　当股票价格对数收益率的分布呈现负偏的时候（如图3），波动率曲线的左侧（downside）较高，股票价格小涨和中涨的概率较大，暴跌的概率也较大，这时候低行权价的虚值认沽期权隐含波动率较高，如图7所示：

　　当股票价格对数收益率的分布呈现正偏的时候（如图4），波动率曲线的右侧（upside）较高，股票价格小跌和中跌的概率较大，暴涨的概率也较大，这时候高行权价的虚值认购期权隐含波动率较高，如图8所示：

　　4.Skew
　　股票价格对数收益率分布的偏度（Skewness）决定了整条波动率微笑曲线的形状，但在期权交易中，交易员未必会交易整条波动率微笑曲线，他们关注更多的是波动率微笑曲线上出现的局部定价偏差，这种定价偏差可以用Skew来衡量，它比较直观，可以直接从波动率微笑曲线上得到，目前常见的计算方法有：

　　如图9所示，相同虚值程度的认沽期权隐含波动率要高于认购期权的，对应的Skew为正值。

　　5.Risk Reversal
　　在大多数情况下，Skew为正值（如图10所示，时间区间为2016年1-11月），即相同虚值程度的认沽期权隐含波动率要比认购期权的高，当波动率微笑曲线的形态发生异常变化时，就可以捕捉相应的交易机会，如图11所示：

　　对于同一到期日的期权，当OTM的认沽期权隐含波动率低于OTM的认购期权一定幅度时，就可以买入认沽期权，卖出认购期权，并买入标的物进行Delta中性对冲，从而锁定这两个合约对应的波动率定价偏差。

　　如图12所示，波动率微笑曲线的纵坐标是隐含波动率，横坐标是行权价格，我们分别选取行权价为2.35的认购期权9月合约和行权价为2.2的认沽期权9月合约，它们都为虚值合约，Delta值分别为0.1851和-0.118（实际交易中很难正好选取到相同虚值程度的期权，只能近似接近），隐含波动率分别为19.2%和16.03%，虚值认购合约的隐含波动率高于虚值认沽期权，Skew值为负，此时可以买入一张虚值认沽合约（沽9月2.2）并卖出一张虚值认购合约（购9月2.35），并买入相应数量的标的合约（50ETF）对冲至Delta中性。
　　如图13所示，一周后的9月12日，虚值认购合约的隐含波动率下降到了17.18%，虚值认沽合约的隐含波动率上升到了16.37%，两者比较接近了，于是可以双向平仓，获取Risk Reversal组合（风险逆转组合）隐含波动率回归的收益。如下表所示，组合盈亏为75（按开仓一个单位来测算）。

　　Risk Reversal组合是用虚值合约构建，杠杆相对比较大，资金利用效率高，以上面的组合为例，卖出一份虚值认购合约时付保证金3754元，收期权费188元，买入一份虚值认沽合约付期权费87元，买入3000份50ETF现货占用资金6840元，期初，合计投入资金10493元，期末盈利75元，扣除交易手续费15元后剩余60元，单笔收益达0.57%，年化收益接近30%。
　　按照这个逻辑，接下来我们用2016年的数据来回测Risk Reversal策略：
　　开仓信号：Skew值小于-0.15；
　　平仓信号：达到止盈条件（100）或者合约到期再平仓。
　　备注：
　　1．测试区间：2016年初至12月1日的当月合约收盘价数据；
　　2. 期权保证金在券商标准的基础上再上浮20%；
　　3. 期权手续费按每张5元收取（卖开免）。
　　单笔收益曲线如图14所示，我们分别列出了每笔交易从开仓到平仓的收益情况，实线部分为真实交易阶段的收益情况，虚线部分为模拟期权合约持有到期的收益情况。一共成交了20笔交易，平均持仓周期为一周左右。净值曲线如图15所示，截止12月1日，组合净值为1.1149，最大回撤1.3%

　　考虑到50ETF期权有四个到期日，存在四条波动率微笑曲线，Skew各不相同，从这个角度上来看可以选择Skew偏差最大的进行交易。
　　但由于Risk Reversal策略赚取更多的是Vega收益：Vega收益=Vega×波动率价差

　　如图16所示，Vega随着期权剩余期限的增加而增加，因此从收益的角度来看，未必是Skew偏差最大的获利会最大，有时候远月合约虽然Skew偏差较小，但收益会更大，不过这也需要考虑不同合约月盘口流动性的情况，以获取尽可能多的Edge。