小谈期权

17世纪30年代末，荷兰批发商已经开始运用期权管理郁金香价格的风险；18、19世纪美国和欧洲相继出现了标的物为农产品的场外市场期权交易。1973年4月26日，芝加哥期权交易所上出台了首张股票看涨期权。期权的诞生和所有衍生品一样是为了对冲风险，然后经过金融市场的投机交易对其公允价格进行挖掘和定价，从而令市场更加有效。
一个简单的欧式看涨期权（欧式期权在期权到期日行权，美式期权，则是期权到期之前随时都可以行权），期权费2，执行价格6，期权的多头被称作long，买入看涨期权一般写作long call,空头则用short。那么long call 的pay-off曲线（横坐标为资产价格，纵坐标为投资损益的曲线图）如下：

一个看涨期权锁定了资产价格向下的损失，同时继续获得了资产价格向上的收益。从广义实物期权角度来看，债券也是一个期权，债券的购入者等于卖出了一个看跌期权，因为一旦发行人资不抵债，债券持有者将只能获得破产清算后的价值，而发行人只需偿还部分债券的价值。包括可转债、可交债、债券的赎回权、回售权、以及国债期货里空头对可交割券的选择权，都是期权。
根据美国期货业协会数据，2019年全球场内衍生品总成交量约为344.8亿手，年末持仓量合计约9亿手，其中期权类产品总成交量152.3亿手，占44.2%，年末持仓量6.5亿手，占72.4%。
Put-Call Parity
场内期权刚刚上市时，只有看涨期权，但投资者仍然可以做出看跌期权的头寸。卖出资产在行权日的远期，然后买入一个看涨期权，我们得到的pay-off曲线如下：

这和一个相同行权日相同行权价的看跌期权是一样的。那么根据一价定律：任何情况下两个资产的收益都是完全相同的，那么他们的价格也必须相同。否则可以通过卖出高价买入低价进行无风险套利。还有一种关于看跌期权的理解，就是看跌期权是用资金换资产，资产价格相对于资金下跌同时也意味着资金价格相对于资产价格上升，所以对于资产的看跌期权也可以理解为对于资金的看涨期权。
所以，相同行权价与到期日的看涨看跌期权以及远期是存在一价关系，也就是买入一个看涨期权同时卖出一个看跌期权，所得到的pay-off曲线与远期是一模一样的，那么根据一价定律，二者价格也必须相等，否则将出现套利空间。于是C(K,T)-P(K,T)=PV_0,T(F_0,T-K)=e^-rT(F_0,T-K)。也就是说看涨期权、看跌期权和远期三者知其二便可得其三。

这种组合资产然后运用一价定律计算价格的思路是计算期权价格的核心。
Black-Merton-Scholes Formula
Fischer Black与Myron Scholes1969年开始研究期权定价并与Robert Merton进行过探讨。1970年Black和Scholes的论文初稿被JPE拒绝，在Merton的推荐下在1973年发表，而Merton随后发表了B-S公式的更一般形式，并对美式期权进行了推广。1997年Robert Merton和Myron Scholes赢得诺贝尔经济学奖，而Fischer Black提前于1995年因病去世。
B-M-S公式可以被称作金融学跨时代的产物，首次将随机过程引入金融产品定价，公式完美体现了一价定律，其中很多假设虽然被认为过于强，与实际不相符，但却可以通过对模型的修正匹配各种新的假设。即使再如何修正，期权理论也不可能绕过B-M-S的理论体系。
简单来说，一个欧式期权价格可以用如下公式计算：

S是资产现在价格，K是行权价，是资产年化复合增长率的标准差，r是无风险利率，T是期权到期期限。
B-M-S公式的假设条件：
资产价格的复合增长率是正态分布，且与时间区间无关；复合增长率的标准差是已知常数；无风险利率是已知常数；没有交易成本和税收；做空与借贷没有摩擦成本。
这些条件大多数是可以放松进而改进模型的，值得注意的是，我们假设了资产复合增长率的标准差是一个不变的常数，但实际上使用历史标准差并不自明。选择多长的过去时间区间，会得到不一样的标准差，不同历史场景下也有不一样的标准差场景。比如非危机时和危机时的区别。
其实使用历史标准差来代入公式就像我们根据历史均值来进行简单均值回归的投资一样，至少在短期上，都很难有说服力。
实际上，如果用市场成交的看涨看跌期权价格倒推出对应的隐含波动率，我们会发现这是一个曲线，也被称作“波动率微笑”，主流外资行在期权定价基础上都会设定自己的“波动率微笑”模型。
期权常用策略每一本关于期权的专业书籍都有，本质是对未来标的变化X(μ,σ)不确定，通过判断μ和σ尽可能算出期望收益最高的选择，而μ和σ本身都是我们对X不明朗情况下的一个粗略判断，是制定策略的次优选项。实际投资中，我们确实不可能得出100%的确定的未来变化分布，所以使用期权确实比线性收益的策略更符合行为心理学。比如说我们所谓的看多10Y国开，其实只是内心认为50%以上的概率利率会下行，或者说E（i）是下行的。其中蕴含的反向风险，我们选择用μ来进行risk-neutral的解释。此时如果想锁定downside risk，期权就是一个很好的工具，这取决于投资者的投资理念，究竟想要什么样的pay-off曲线。
我们仍然对最主流的标准期权策略进行回顾，标准化的产品定价和交易厚度都会比较理想，理论最优要让步于实际最优。这里我们仅用一般期权来举例，而没有以利率期权常用的cap、floor、swaption作特别介绍。实际上简单的期权策略全部是由看涨期权call和看跌期权put组合而成，以实现不同的pay-off曲线。
Call看涨期权

买入看涨期权用于单边看涨，对下跌进行保护；卖出看涨期权则是用于单边看跌，赚取期权费。

Put看跌期权

买入看跌期权用于单边看跌，对上涨进行保护；卖出看跌期权则是用于单边看涨，赚取期权费。
Bull call spread牛市看涨期权价差

牛市看涨期权价差=买入平值看涨期权+卖出虚值看涨期权，降低期权费，获取温和上涨的收益。
Bull put spread牛市看跌期权价差

牛市看跌期权价差=卖出平值看跌期权+买入虚值看跌期权，同牛市看涨期权价差一样，看市场温和上涨。
Bear call spread熊市看涨期权价差

熊市看涨期权价差=卖出实值看涨期权+买入平值看涨期权，或者卖出平值看涨期权+买入虚值看涨期权，适合看市场温和下跌。
Bear put spread熊市看跌期权价差

熊市看跌期权价差=买入平值看跌期权+卖出虚值看跌期权，同熊市看涨期权价差类似，看市场温和下跌。
Butterfly蝴蝶期权（看涨期权）

蝶式期权=买入N手实值看涨期权+买入N手虚值看涨期权+卖出2N手平值看跌期权，适用于市场小幅震荡，投资者判断不会有特别大的单边行情时使用，同样也可以用看跌期权来组成蝶式期权。
Straddle跨式期权

跨式期权=买入平值看涨期权+买入平值看跌期权，适用于看市场大幅波动。
Strap Straddle带形跨式期权

带形跨式期权=买入2倍平值看涨期权+买入平值看跌期权，适用于看市场大幅波动且认为上涨概率高于下跌。
Strip Straddle条形跨式期权

条形跨式期权=买入平值看涨期权+买入2倍平值看跌期权，适用于看市场大幅波动且认为下跌概率高于上涨。
Strangle宽跨式期权

宽跨式期权=买入虚值看涨期权+买入虚值看跌期权，适用于看市场大幅波动，相比于跨式期权，由于用的是虚值期权，所以期权费较低，但行权的位置也更远。
Strap Strangle带形宽跨式期权

带形宽跨式期权=买入2倍虚值看涨期权+买入虚值看跌期权，适用于看市场大幅波动且认为上涨概率高于下跌。
Strip Strangle条形宽跨式期权

条形宽跨式期权=买入虚值看涨期权+买入2倍虚值看跌期权，适用于看市场大幅波动且认为下跌概率高于上涨。

这次外汇交易中心推出的利率期权是基于LPR1Y和LPR5Y的利率上限期权（cap）、利率下限期权（floor）和利率互换期权（swaption）。市场参与者需要申请成为期权市场交易成员（利率互换成员仅需提交申请表；非利率互换成员须成为利率互换成员后开通期权）
以3月23日上市首日利率互换期权成交为例解释一下要素：SWPT_LPR1Y_1M1YP，执行利率3.85，option premium 05 trd：行权标的是参考LPR1Y的1Y期利率互换合约，利率3.85，期权期限是1M，P代表收取方期权（收固定，支付浮动），期权费5bp（5%%）。就是说这个期权的购买者支付了5bp的期权费，获得了一个月以后进入一笔收3.85%付LPR1Y浮动的为期1Y的利率互换的权利。如果4月23日，LPR1Y_1Y利率互换低于3.85%，那么期权购买者就可以选择行权，如果高于3.85%可以选择不行权。
再以Cap_LPR1Y_6M为例解释一下利率上限期权要素：代表标的为LPR1Y，期权期限6M的Cap，期权购买者支付期权费拥有LPR1Y利率高于执行利率时，获得高于部分收益的权利。可以理解为“发行方浮动利率锁定支付利息成本”。由于LPR是月度重置，所以可以理解为是每个重置日的Caplet的叠加。
3月23日上线当天，共计成交利率期权交易154笔、127.8亿元；35家金融机构参与利率期权报价、交易。其中，LPR利率互换期权成交80笔、名义本金68.9亿元。挂钩LPR1Y利率互换期权69笔、57.4亿元，挂钩LPR5Y的利率互换期权11笔、11.5亿元。期权期限1M至6M，LPR利率互换期限从6M至2Y，成交较为活跃的1年期支付方LPR1Y利率互换1个月期权的期权费在0.85bp至1.5bp。
LPR利率上/下限期权成交74笔、名义本金58.9亿元。挂钩LPR1Y利率上/下限期权63笔、47.4亿元，挂钩LPR5Y的利率上/下限期权11笔、11.5亿元。上限成交41笔、下限成交33笔；期权期限6M至1Y，成交较为活跃的6个月期LPR1Y利率上限期权的期权费在0.31bp至3bp。
目前利率期权挂钩LPR，挂钩LPR的利率互换成交暂时仍不活跃，LPR期权也会更加不活跃。而且LPR锚定MLF，月度更新，其变化频率也使得波动率大多数时候较低，变化时也一般会在一个方向，幅度也基本只有一至两档，短期来看策略意义不大，建议保持关注，未来期权市场如果能在国内大幅发展，会令现有投资系统，风控系统，投资理念发生翻天覆地的变化，需要时刻保持与时俱进。

Black-Merton-Scholes Formula

正态分布
对数正态分布

一般会假设资产价格的变化符合正态分布，于是资产本身就符合对数正态分布。

中位数是低于期望的，也就是说超过一半以上的概率，对数正态分布的资产回报会低于期望收益。
对数正态分布的概率计算
对数正态分布的条件概率计算
B-M-S

最后扯些题外话，回忆期权的时候也顺带回想起当年跟着港大孟茹静老师学习期权定价的时光，像伊藤引理这种现在根本想不起来表达式的东西，名字倒是记得清清楚楚。也顺带着想起了小组作业，考试，paper的种种。那时候学固收学衍生品公式推导何等的意气风发，如今只记得些了皮毛。不过好在欣赏经典的心情还在，工作之后更加愈发深刻认识到B-M-S模型深远的意义和定价思维的美。在翻伊曼纽尔德曼的波动率微笑的时候，也翻了翻宽客人生，虽然实力与境界相差甚远，但从基础学科到金融的轨迹倒是颇为一样。只是不知道生肖君何时能够有能力在金融创新中贡献一点力量，何时才能有闲下来的一天回到校园，重新沉迷于基础学科的美。