请那些来搞笑的人别再污染答案池了行不
下面我来写一个回答.
首先,题目没有说定义域.那我们不妨分类讨论吧.
如果
,那么不存在这样的函数
.
证明如下,译自美国数学月刊,并进行了改编.请MAA不要起诉我:
(加说一句,也有很简单的证明叙述,只不过我下面要写的不仅仅对于该问题有效,也对所有类似
的都有用,更有普遍性.)
约定
对任意
定义
当且仅当存在两个非负整数
使得
很明显,这是一个等价关系.每一个等价类内部以实数为点,若y=f(x)则连一条由x指向y的有向边,如此构成了一个有向图,把这个图叫做函数f的一个轨道图,它是联通的.每个点的出度严格为1.由于等价类有可能不止一个,那么f也可能有不止一个轨道图.
轨道图有两种:循环的和非循环的.一个轨道图是循环的当且仅当它存在一个顶点x满足
,若如此,则称其为循环的.称
,规定圈内点互不相同.且由于圈内点不可能向外指以及轨道图是联通图,因此一个循环轨道图有且只有一个圈.
注意到,非循环的轨道图必然有至少可数无穷多的顶点.
我们想要知道
是怎样从
所生成的.这个很有意思,犹如细胞分裂,让我想起了阿米巴变形虫.
引理1: (1)
的一个2m循环轨道图可分裂为两个
的m循环轨道图
(2)
的一个非循环轨道图,可分裂为两个
的非循环轨道图.
(3)
的一个2m+1循环轨道图,也是
的一个2m+1循环轨道图.只是样子不太一样.叫这个操作变形好了
看图意会一下:(1)所描述的分裂
因此我们知道,
的所有轨道图都是由
的轨道图或分裂或变形而来的.
非循环分裂为非循环.奇循环变形为奇循环.因此偶循环只能由偶循环分裂产生.
即
的一个2m循环轨道图,只能由
的4m循环轨道图分裂而产生.因此,对任意m正整数,如果
的2m循环轨道图的数目是有限个的话,那么一定是偶数个.(废话,都是一分为二形成的)
那么,考虑函数方程
,即
的可解性.由于
,则
的2m循环轨道图就是
的2m循环轨道图,由上结论知道如果是有限个,则必为偶数个.
引理2:对任意正整数m,
的2m循环轨道图,如果是有限个,则必为偶数个
我们的问题是
,是否有解.考虑
的2循环轨道图,求解
得到
.得到
,他们是一阶不动点.而
,因此g有且仅有一个2循环轨道图,这与引理2矛盾!
因此,对于
的情况,该方程无解.
的情况明天再更.
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