【财通金工】期权对冲方案设计-场外期权专题之三

投资要点

对冲在于降低风险
如果期权卖方想在标的物价格波动剧烈的时候不吃亏，则需要不断通过买卖现货来调整对冲仓位，尽量保持总仓位的Delta为0。不断根据头寸Delta而做对冲的手法就是动态Delta对冲。
场外期权的交易商卖出一个期权，但是他不愿意承担期权带来的风险暴露，那么他就需要通过delta对冲抵消掉方向上的风险。
而对于场内期权的投资者，如果当前的隐含波动率大大高于标的实际波动率，那么投资者可以卖出期权，同时在市场上以实际波动率进行delta对冲，从而赚取波动率高估的钱。

不同对冲方法中，Zakamouline方法效果最好
固定时间对冲、根据标的变化做对冲和对冲到一个delta带这三种方法都是比较常用的对冲方案，经过参数的优化都可以取得较好的对冲效果。
我们还可以使用基于效用的Whalley-Wilmott策略和Zakamouline策略。
我们通过蒙特卡洛模拟对5种策略进行了比较，发现Zakamouline策略表现最优。

成功的对冲，还需动态对冲与静态对冲相结合
在极端市场环境下，动态对冲方法会显得尤为脆弱。如果市场出现突然的大幅下跌，市场流动性会出现高度紧张，可能无法对冲风险。
因为动态对冲的需要，对冲头寸进入市场，又会加剧了市场危机，造成系统性风险。
考虑到在极端情况下动态对冲的脆弱性，动态对冲需要配合静态对冲，从而分散掉价格跳变的巨大风险。

风险提示：本文所提供的策略与测试数据仅供投资参考

1、什么是对冲？
1.1 对冲在于降低风险
对冲是一种在减低商业风险的同时仍然能在投资中获利的手法。一般对冲是同时进行两笔行情相关、方向相反、数量相当、盈亏相抵的交易。行情相关是指影响两种商品价格行情的市场供求关系存在同一性，供求关系若发生变化，同时会影响两种商品的价格，且价格变化的方向大体一致。方向相反指两笔交易的买卖方向相反，这样无论价格向什么方向变化，总是一盈一亏。当然要做到盈亏相抵，两笔交易的数量大小须根据各自价格变动的幅度来确定，大体做到数量相当。
对冲有两个作用，一个是用来抵消风险，另一个就是利用差异来获得收益。

1.2 Delta中性与动态对冲
Delta为零的状态我们称之为Delta中性。
Delta不仅仅有大小，还有方向。因此可以将Delta风险理解为“方向性”的风险。也就是说，我们无法准确预知标的物究竟上涨还是下跌以及上涨下跌的幅度，Delta风险就是我们可能预测错误所造成的风险，故而我们有必要对这一风险进行对冲。
如果期权卖方想在标的物价格波动剧烈的时候不吃亏，则需要不断通过买卖现货来调整对冲仓位，尽量保持总仓位的Delta为0。不断根据头寸Delta而做对冲的手法就是动态Delta对冲。

1.3 场外期权，场内对冲
场外期权的交易商卖出一个期权，但是他不愿意承担期权带来的风险暴露，那么他就需要通过delta对冲抵消掉方向上的风险。

例如场外期权交易商卖出了一个平值认购期权，为了抵消风险，交易商需要在场内市场动态地持有delta份期权标的资产，这等同于在场内市场上买入一个隐含波动率等于实际波动率的看涨期权，中间的波动率差价就是交易商所能获得的利润。
而对于场内期权的投资者，如果当前的隐含波动率大大高于标的实际波动率，那么投资者可以卖出期权，同时在市场上以实际波动率进行delta对冲，从而赚取波动率高估的钱。

1.4 对冲效果

我们考虑比较卖出一个期权同时在市场上日频动态对冲策略与卖出一个期权而不进行任何对冲策略的持仓收益。
假定标的价格满足几何布朗运动，我们使用蒙特卡洛方法模拟出10条路径，之后再分别计算在对冲和不对冲情况下的持仓损益。
如图2所示，如果不进行对冲，那么持仓收益会非常不稳定。在极端情形，比如市场大幅上涨的情况下，会出现比较大的亏损。
如图3所示，如果进行对冲，那么持仓的收益就会更稳定，到期损益的波动比较小。如果我们卖出期权的期权费能够覆盖绝大多数路径对应的持仓损益，那我们就可以获得确定性比较高的收益。
综合图2和图3，进行动态对冲能降低卖出期权的风险。

1.5 本文主要内容
本文将具体地介绍对冲的思想以及几种市场上通行的对冲的方案，另外还会对具体的对冲操作提出几点思考：
第一部分，我们将介绍动态对冲的思想，描述动态对冲过程中的成本测算方法，并告诉大家动态对冲有哪些缺点。
第二部分，我们将介绍波动率对动态对冲的影响，研究在不同市场环境下如何使用不同的波动率做对冲。
第三部分，我们将比较三种基于经验主义的对冲方案，这三种方案分别是固定时间对冲、根据标的变化做对冲和对冲到一个delta带。
第四部分，我们将介绍基于效用的对冲方法，在假设交易员拥有指数效用函数的情形下，Whalley-Wilmott方法和Zakamouline方法都能构建一个delta的非交易区域，如果最终delta落在这个区域，可以不必对冲，从而降低交易的频率。
第五部分，我们将简单介绍静态对冲，动态对冲在极端市场情形有失效的可能，而相比之下静态对冲通过以多产品收益相互抵补、风险相互对冲来降低整体风险，能抵御极端情况下的市场风险。

2、如何动态对冲？
2.1 动态对冲的思想
1973年，Fischer Black 和Myron Scholes(1973)发表了《期权定价和公司财务》一文，在一系列严格的假设条件下，通过严密的数学推导和论证，提出了后来被称为“Black-Scholes 模型”(下称B-S模型)的期权定价模型，成为期权定价理论研究中的开创性成果。Black 和Scholes假设标的股票价格服从几何布朗运动，且其波动率是一个常数。在无套利的条件下，利用动态复制（Dynamic Replication）的方法，推导出基于不付红利股票的欧式看涨期权价格必须满足的微分方程。通过解此微分方程，得出欧式看涨期权价格的显式解，称为B-S公式。该公式现已成了市场参与者所普遍使用的一个定价工具，推动了衍生产品市场的深入发展。
许多学者分别从离散时间和交易费用方面来复制期权从而研究期权的定价。Boyle和Emanuel(1980)对于不考虑交易成本的短时间段进行间断性避险的误差分布进行的检验表明，忽略泰勒展开式的某些高阶项，避险误差的期望值为零，且避险误差分布服从自由度为1的卡方分布。Leland(1985)提出采用一种修正的波动率来解决交易成本带来的避险误差问题。Kamal和Derman(1999)对分布的方差的研究表明方差与期权的Vega成比例。Toft(1996) 继Leland开创性地对B-S模型进行修正以运用于存在交易成本下的期权定价之后，计算了对冲误差的期望值并给出了显式解。Kabanov和Safarian(1997)给出了存在比例交易成本的对冲误差的范围，并认为Leland的避险策略仅是一种推测。Yonggan Zhao和Ziemba(2003)指出，Leland论文中存在数学证明上的漏洞，并用模拟结果证明Leland模型存在问题，他们借鉴Leland的想法也对B-S模型的波动率进行修正，但使用的是内生的使绝对平均误差最小化的修正波动率来进行定价与避险。Davis和Zariphopoulou(1993、1995)，Hodges和Neuberger(1998)等更是利用随机控制方法求效用最大化的方法对期权进行定价，但由于算法复杂等原因并不实用。
Whalley和Wilmott（1997）给出了一个Hodges和Neuberger(1989)方法的近似接法，当交易费率趋于0时，delta的非交易区间的边界满足如下的公式：

Zakamouline（2006）研究出了一个基于效用的对冲策略的解法，该解法可以在充分保留Hodges和Neuberger(1989)方法特性的情形下，给出一种近似的求解公式，模拟结果显示，Zakamouline近似方法显著优于其他方法。

2.2 普通Delta对冲成本计算
我们以股指期权为例分析期权的对冲成本。
Delta对冲策略在期货头寸中会因价格波动损失一定的手续费和追涨杀跌的损失，不过这笔费用相当于购买期权所付出的权利金，并且这笔权利金并不是期初一次性付清，而是在整个避险的过程中慢慢支付给市场。根据 Black-scholes公式知道，期权的价格与行权价、到期日、标的价格、无风险利率和隐含波动率有关。而隐含波动率越高期权的权利金也越高，通过Delta策略能够更好的理解隐含波动率的意义，因为未来标的价格的波动越剧烈，在进行Delta策略时，期货头寸的调整会越频繁，这样会导致更多买高卖低的次数出现，而造成整个策略在追涨杀跌的过程中损失越大，相当于付给了期权“卖方”更多的权利金。

期权的对冲成本主要分为3部分：
第一部分来自于动态持有delta份股指期货带来的资金损益。
Delta对冲在具体的操作中就是delta升高的时候买入股指期货，delta降低的时候卖出股指期货，那么，在这一过程中由于高买低卖产生的损失以及到期日的支付K*（sign(s-k)）就近似于期权费。
第二部分来自于调整股指期货持仓产生的交易费用。
由于期权delta在股价出现变动时会动态调整，那么，由于每天股指期货的持仓都会出现变化，期权复制会带来一笔交易费用。
第三部分来自于保证金的利息支出。

2.3 对冲存在的风险
1.隐含波动率估计错误
delta动态对冲方法也存在显著的缺点，那就是该策略需要估计期权的隐含波动率，我们都知道，隐含波动率与历史波动率往往存在很大的差距，估计隐含波动率是比较困难的。
2.Gamma风险
另外，该策略仅能使得delta 中性，而无法达到gamma 中性，因此使用delta 策略会存在gamma 风险，这就使得该策略复制期权存在较大的跟踪误差。
3.大头针风险
进行动态对冲，在期权接近到期且标的价格靠近行权价时，Delta的变化无法控制，无法精确地对冲Delta。

3、波动率对对冲损益影响
3.1 波动率恒定情况
BS模型假定股价满足几何布朗运动，波动率恒定不变：

那么由Ito公式，一个衍生品的价格满足如下的随机微分方程：

如果我们卖出一个期权，同时进行delta对冲，那么我们构建的投资组合为：

该投资组合的价值变化满足：

在假定波动率水平恒定不变的情况下，投资组合的价值变动与Theta与Gamma相关。

3.2 波动率恒定模型下对冲模拟
我们假定标的价格满足几何布朗运动，使用蒙特卡洛方法模拟出1000条路径，之后再分别计算在这1000条路径下进行对冲的持仓损益。
我们假定：
S0 = 1；
T = 0.25；
K = 1；
Sigma = 0.2；
r = 0.05；
交易费率取万分之六。
根据以上参数得到了1000条股价的路径：

对于这1000条路径，我们分别计算了每条路径相应的期权对冲组合的对冲损益，交易成本，资金占用成本以及无法被对冲的期权Gamma与Theta损益。

对冲的平均损益如表2所示，对冲头寸损益平均为0.389，低于通过波动率计算得到的期权价格0.461，所以在没有交易费的情况下，以BS价格卖出一个期权并进行动态对冲平均可以获得0.0073的收益。
其中的差异是因为卖出期权带来的theta安全垫收益超出了gamma所带来的损失。

3.3 时变波动率情形
考虑波动率随时间变化情形：

那么，以看涨期权为例，期权价值的变化如下：

其中：

如果进行delta对冲，那么上式中第一项会被完全消除，那么组合对冲之后的损益，也即我们对冲的误差相比于恒定波动率模型多出了一项：

由于Gamma值始终为正，如果我们预测未来波动率低于当前隐含波动率，那么就可以获得正的对冲损益。

3.4 波动率断点模型
如果真实波动率没有明显变化，用当前波动率计算的期权价格，和最后的对冲成本，从理论上来说，应该是非常接近的。
但实际上波动率有时会出现比较大的变化，如果波动率大幅上升，那么就会导致对冲成本显著增加，造成对冲头寸出现亏损。
为了对这种情况进行研究，我们构建了波动率断点模型：
我们使用蒙特卡洛方法模拟标的的价格路径，模拟价格路径分为两段，前一半时间标的真实波动率为20%，后一半时间标的真实波动率为40%。
我们分别取20%、30%和40%作为期权的对冲波动率，研究在不同的对冲波动率下对冲效果有何不同。

如表3，如果我们以20%的波动率卖出期权并用期初的波动率20%作为对冲波动率，由于之后波动率急剧上升到40%，导致对冲成本大幅增加，最终我们卖出期权得到的期权费将不足以覆盖我们的对冲成本。
另外，我们还测试了用不同波动率作为对冲波动率的情况。
在模拟出的波动率模型下，我们用不同波动率来计算delta进行动态对冲。我们选用的对冲波动率越大，那么对冲头寸的损益越小，总成本标准差也越小。
不过，从表3看来，不同对冲波动率的选用并不会对对冲头寸平均损益造成太大的影响，对冲头寸的平均损益更多的由模型波动率决定。

3.5 不同路径可以考虑用不同的波动率对冲
虽然从平均上来看，使用不同波动率进行对冲的结果并没有太大的差别，但是对冲的效果具有高度的路径依赖性。对于同一条路径，选用不同的对冲波动率会带来非常不同的结果。
我们可以简单地把市场分为趋势市和震荡市，在趋势市中，使用较小的波动率做对冲更好，而在震荡市中使用更大的波动率对冲效果更优。

造成这种差异的主要的原因在于对冲波动率取值会影响到delta的计算，而对冲波动率的值选取的越低，那么相对应的Gamma也就越大。
我们都知道：

在市场不断震荡的情况下，对于标的的每一次价格变化，低波动率的对冲头寸每次对冲都会有更大的数量调整，而因为标的价格会来回波动，这种调整在之后都会被证明是亏损头寸。一来一回，对冲策略会承担相比于高波动率对冲头寸更大的亏损，从而增加了总的对冲成本。
而在趋势市中，低波动率的对冲头寸同样有更大的数量调整，不过由于趋势的存在，这种调整在之后都会被证明是盈利的，对冲头寸盈利更多，那么总的对冲成本相应地就更小。

我们分别选取了上涨趋势市、下跌趋势市与震荡市的三个例子做比较，结果发现在趋势市中选用较小波动率对冲成本更低，而在震荡市中选择较大的波动率对冲成本会更低。
在趋势市与震荡市的比较当中，震荡市下的对冲成本要远大于趋势市下的对冲成本。造成这一差异的主要原因在于趋势市下对冲头寸多为盈利头寸，而在震荡市下对冲头寸多为亏损头寸。

4、基于经验的对冲方法
4.1 固定时间间隔对冲
固定时间间隔 delta 对冲是指以固定时间间隔进行对冲操作，通过买卖一定数量的标的资产进行对冲，使得交易后持有资产组合的总 delta 值近似于0。
这种对冲方法的优点在于实施条件容易理解，只需要固定时间调整标的持有数量即可，但对冲时间间隔为多少需要认真研究，期权距离到期日较远时可以选择比较大的事件间隔，比如一周对冲一次，但随着到期日临近，Gamma值不断变大，可能需要增加对冲的频率，比如每天对冲一次。
提高对冲频率可以降低风险，但会增加交易成本，而降低对冲频率可以降低成本，但会增加风险的暴露。

4.2 标的价格出现一定变化时才进行对冲
这种对冲方法的逻辑在于，如果标的不出现大的价格变动，那么我们在delta上的损益并不显著。
投资组合的风险主要是由于标的价格变化引起的，由价格是否有大的变动决定是否对冲从逻辑上来讲十分自然。
“一定变化的标准”有多个指标可以参考，例如涨跌幅，绝对价格变化，历史分位点，一个标准差的变化。

4.3 对冲到一个delta带
这是做市商和许多交易员最常用的对冲策略，使用该方法前，我们首先需要确定可以容忍的delta区间的大小，通常这个区间是通过无法对冲的风险大小（比如开盘时出现跳空）确定的。
值得注意的是，对于Gamma正向暴露期权组合，我们倾向于选择一个更宽的delta带，因为Gamma正向暴露会对不利的价格变动起到一定的保护作用，反之，对于Gamma负向暴露的期权组合，我们倾向于选择一个更窄的delta带。

4.4 策略比较
上述三种方法都是比较常用的对冲方案，经过参数的优化都可以取得较好的对冲效果。
现在我们希望对三种方案做一个同一个维度比较，所以我们设定了如下的比较方案：
1. 日频对冲；
2. 标的价格出现超过sigma（1个日标准差）的变化才对冲；
3. 对冲到一个delta带，BSM delta值与原先出现超过d_delta的变化才对冲，其中d_delta=(BSM_delta(S_0+sigma)-BSM_delta(S_0-sigma))/2。
假设我们卖出一个到期日距现在3个月的平值看涨期权，标的波动率取20%，无风险利率取5%，交易费率按万分之六计算，我们通过蒙特卡洛方法模拟出1000条路径，分别用3种不同的方案做对冲。

如表7所示，三种方法在同一维度上做比较下并无太大差异。如果想要取得好的对冲效果，仍需要不断调整参数。

5、基于效用的对冲方法
5.1 HN（Hodges-Neuberger）方法
指数效用函数是一个常用的效用函数：

其中W表示财富量，而γ是Arrow-Pratt风险厌恶系数，表示风险厌恶的程度。
我们假定交易员拥有指数效用函数，Hodges和Neuberger(1989)首先提出了一个基于效用最大化来考虑交易的方法。
Hodges 和 Neuberger观点是：存在一个临界值，使得交易员认为持有未完全对冲头寸的风险（从效用上）与完全对冲的成本是无差别的。
Hodges 和 Neuberger的方法是一个最优解，具体的求解并不在本文范围之内，
HN（Hodges-Neuberger）方法需要进行数值求解，而且其数值求解相当耗时，并不实用。

5.2 Whalley-Wilmott策略
HN方法复杂难以求解，交易员通常采用Whally 和 Wilmott 的渐近解，这种方法计算起来比较简单，在实际操作中有非常广泛的应用。
Whally 和 Wilmott（1997）假设交易成本很小，那么就可以得到HN方法的渐进解法，WW方法下非交易区间的边界如下：

γ 是 Arrow-Pratt 风险厌恶系数λ 是交易成本比率Γ 是期权的 Gamma 值交易成本越大，交易员就越不愿意做对冲交易，对冲带越宽， Gamma 值越大， delta会发生较快的变动，对冲带也越宽。而风险厌恶系数越大，交易员就越难以忍受持仓头寸的净值波动，更倾向于频繁对冲，对冲带就越窄。

5.3 Zakamouline策略
Zakamouline提出了一个对于HN方法的简化方法，该方法能在计算相对简便的情况下提供一个近似于HN方法的数值解。
Zakamouline先设计了一个公式的形式，然后通过数值分析的方法拟合得到了参数。Zakamouline双渐近解下的非交易区间为：

5.4 策略对比
在上一节，我们对三个经验主义的对冲方案，固定时间对冲、根据标的变化做对冲和对冲到一个delta带进行了比较，发现三个方案效果并无太大差异。
基于效用的对冲模型中，我们设计一个对冲带，使得在临界值上，交易员认为持有未完全对冲头寸的风险（从效用上）与完全对冲的成本是无差别的。
我们将上一章节的三个方案与本章节的Whalley-Wilmott策略和Zakamouline策略再做比较。

如表8所示，Zakamouline策略在多种策略中表现最优，这与理论是比较相符的。
在承担一定程度的风险情况下，Zakamouline策略实施的对冲交易最少，从而在交易费用上显著低于其他方法，最终策略的总成本上也是Zakamouline策略最少。

6、静态对冲
6.1 动态对冲存在缺陷
动态对冲是存在诸多缺点的，上文中我们就提到了隐含波动率估计错误、Gamma风险、大头针风险这些比较常见的风险点。
另外，在极端市场环境下，动态对冲方法会显得尤为脆弱。如果市场出现突然的大幅下跌，市场流动性会出现高度紧张，可能无法对冲风险。
因为动态对冲的需要，对冲头寸进入市场，又会加剧了市场危机，造成系统性风险。
考虑到在极端情况下动态对冲的脆弱性，动态对冲需要配合静态对冲，从而分散掉价格跳变的巨大风险。

6.2 什么是静态对冲？
静态对冲是指通过多产品组合抵消单只产品的Greeks风险，以多产品收益相互抵补、风险相互对冲来降低整体风险，
静态对冲有诸多优点：
一是操作相对简单，只需要在首日建仓并持有即可；
二是对冲成本低，建仓之后不需要调整持仓头寸；
三是对冲效果好，通过多产品的组合可以抵消原先期权的部分或全部的风险。

假设市场上有行权价分别为0.95S和1.05S的一年期认购期权，它们的隐含波动率都为20%，我们卖出一个行权价为S的一年期认购期权时就可以用这两个期权做对冲。
我们以iv=21%的价格卖出行权价为S的认购期权，然后分别买入0.5份行权价为0.95S和1.05S的一年期认购期权，这样就可以完全抵消掉卖出该期权的风险。如图11，这样的对冲策略帮助我们实现了无风险套利。
当然实际情况并不会像这般理想，想要买入的用以对冲的期权通常偏贵，所以实际操作中，通常是买入一些“便宜”的较虚值和较实值的期权用以对冲，降低价格跳变甚至剧变带来的风险。

本文内容来自于：
证券研究报告：《金融工程：期权对冲方案设计-场外期权专题之三》
发布时间：2019年4月22日

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