Black-Scholes 模型中 d1，d2 是怎么得到的？如何理解 Black-Scholes 模型？

慕雨柔 · 2018-10-16 00:07:31

我在 Wikipedia 上边看到了关于
的另一种解释。
本质上也是期权被执行的概率，但是是在哪个测度下的概率呢？事实上，如果我们做计价单位变换(change of numeraire)，可以看到，
是风险中性测度下，以股票为计价单位时，期权被执行的概率。相应的，
就是在风险中性测度下，以现金账户为计价单位时，期权被执行的概率。

参考：http://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model

石川 · 2018-10-16 00:07:32

欧式看涨期权在行权日 T 的期望价值为 E[max(S(T) – K, 0)]，其中 S(T) 为股票在 T 时刻的价格，K 为行权价。股价 S 满足对数正态分布，在风险中性定价理论下，S 的期望收益率为无风险收益率 r，且期权的折现率也等于无风险收益率 r。因此，期权在当前时刻的价格 C 为：

根据对数正态分布的性质可以方便的计算出 E[max(S(T) – K, 0)]，从而得到著名的 BS 期权定价公式（同时给出看涨期权价格 C 和看跌期权价格 P）：

根据公式并利用计算机，只要输入五个变量——当前股价 S(0)、行权价格 K，行权日距现在的时间（按年计算）T，无风险收益率 r，以及标的股票的年收益率的标准差 σ ——就可以计算出欧式看涨（看跌）期权的理论价格，这无疑非常方便。然而我们需要了解定价公式背后的含义。
对于任何一个期权，在定价时有两个不确定性需要考虑：

这个期权到行权日到底是不是实值期权（in-the-money），就是到底有没有行权的价值（比如说我买了一个看涨期权，但是行权日股价 S 低于 K，那么这个期权就没有价值）。
如果行权了，那么我们的（期望）收益到底能有多少（比如行权价是 100，在行权日股价是 110，那么每股我们能赚 10 块；而如果股价是 120，则每股我们能赚 20 块）。

这两个不确定性恰恰就对应着由 BS 定价公式中的 N(d_1) 和 N(d_2)。
以看涨期权为例来解释这一点。在 BS 公式中，N 代表了标准正态分布的累积密度函数，因此 N(d_1) 和 N(d_2) 就代表两个概率。其中，N(d_2) 正是在风险中性世界中期权被行权的概率，即 prob(S(T) > K)。因此 C 公式中的第二项 Ke^(-rT)N(d_2) 就是在当前时点、考虑了行权概率后的行权费的期望（即为了在T购买股票所需的期望成本）。
至于 N(d_1)，对于它的理解远没有 N(d_2) 直观。先抛开 N(d_1) 不说，而来看看 C 公式中的第一项。由于第二项代表着期望成本，那么第一项必然代表着行权得到股票的期望收益。由于只有 S(T) 大于 K 才会行权，因此在行权的条件下，股票在行权时的期望价值是一个条件期望，即 E[S(T) | S(T) > K]。用这个条件期望乘以行权的概率 N(d_2) 再把它折现到今天（乘以 e^(-rT)）就应该是 C 公式中的第一项。因此有：

将 S(0) 替换为 e^(-rT)E[S(T)] 并带入上式可知：

由于 E[S(T) | S(T) > K] > E[S(T)]，因此 N(d_1) > N(d_2)（这从 d_1 大于 d_2 且 N 是单调增函数也可以验证）。根据这个关系，我们可以把 N(d_1) 理解为风险中性世界中、按照股票价格加权的行权概率。这是因为和固定的行权成本 K 不同（K 是独立于股价 S 的），收益和股价之间不是独立的。
N(d_1) 在数学上还有另外的解释，它是“以股票波动率 σ 为市场风险定价，并在以股票为计价单位时，期权被行权的概率”。解释它需要涉及到测度变换、等价鞅、以及计价单位变换等数学知识。

更多的请见：
石川：布朗运动、伊藤引理、BS 公式（前篇）石川：布朗运动、伊藤引理、BS 公式（后篇）

zczc · 2018-10-16 00:07:33

最近在看CFA L2，好好把BS model研究了一下，现在说说我的理解。

按国外教材/楼上高票答案的理解：
N(d1)是在风险中性条件下，按股票计价时得到的期权被执行的可能性，N(d2)是在风险中性条件下，按货币计价时得到的期权被执行的可能性。
期权的价值是货币计价，现在假设是元。所以
，第一项可以理解为到期时所能得到的货币价值，第二项可以理解为到期时所要付出的货币价值。所以期权的价值就是我们得到的价值减去付出的价值。

关于第二项，到期时付出的是Cash，单位是货币（元），货币计价是 K元。
到期时付出的价值（折现）应该是执行期权时付出的价值加上不执行期权时付出的价值，即 Ke^(-rt) × N(d2) + 0×（1-N(d2)） = Ke^(-rt) × N(d2)。但由于不执行期权时所付出的价值为0，所以到期时付出的价值也就等于到期时执行期权所付出的货币价值。

关于第一项，到期时得到的是1份股票，计价单位是股票，转换成货币计价是1×S元。
到期时如果执行期权（S>K)，则会把股票转换成货币，这样得到的货币价值是1×S×N(d1) , 如果不执行期权(SK时，我才会选择把股票转换成货币，这时股票计价是1份股票，转换成货币计价得到S元；如果股价太低，低于K，把股票转换成货币是不划算的，所以会选择不转换成货币，这时股票计价仍是1份股票，但货币计价是0元。和期权out of money时同理，可以把1份“股票”理解成1份期权，“货币计价转换”理解成期权的执行，只有S>K,期权才会执行，即进行货币计价转换，期权有价值，货币计价转换后有价值。否则不会执行期权，即不进行货币计价转换，期权价值为0，货币计价为0。所以N(d1)就是在股票计价时，期权执行的概率，它会随着S的增大而增大）

因为不执行期权时，第一项和第二项的货币价值都是0。所以Call的价值就等于当期权执行时，所得到的货币价值减去所付出的货币价值，即

或者，根据CFA网课中老师的理解加上我自己的理解（有点不严谨，但可以大致参考理解下）

类比的是Forward的定价，P（forward）= S - Ke^(-rt)。Forward到期时是一定会执行，但期权不一定。

所以
Nd2描述的是期权执行的概率。
Nd1也就是Delta，描述的是股价变动对期权价值的影响。如果股价上涨1块钱，期权价值的上涨幅度是1×N(d1) 。

关于第一项，我们计算的是期权的价值，而不是股票的价值。
如果计算的是股票价值，到期时价格为S，我们能得到的价值就是S（理解成S-0）。
但现在计算的是期权价值，应乘以N(d1) ，也就是S×N(d1) （理解成（S-0）×N（d1）），即在Forward公式第一项乘以N(d1) 。

关于第二项，Ke^(-rt) 乘以 N(d2) 就是当期权执行时付出的期权价值，即在Forward公式第二项乘以N(d2) 。

所以Call的价值就等于当期权执行时，所得到的期权价值减去所付出的期权价值。

学了几年BS model，今年终于好好研究了一下，如果有什么错误，欢迎指正~~

高爽 · 2018-10-16 00:07:35

其实 @姚岑卓的回答已经很清楚了，但是由于 @李适同学问了，我就再用最简单的陈述大概再说一下，只以解释Nd1和Nd2为目的，公式是随便自己写的，可能有地方不严谨，以call option为例，简单来说，在风险中性测度下，未来收益的期望也就是期权的价格为，

因为当St

余泽 · 2018-10-16 00:07:36

上面 @姚岑卓的回答给出了BS模型的鞅方法推导，这里对他答案里的最后一句话做一个补充：
为什么d1不等于d2？它们各自代表什么含义？
看涨期权的价格可以写为：

其中，
就是BS公式中的
，即 风险中性测度下，期权被执行的概率。
然而注意到：

即

所以

为了得到BS公式，下面需要对第一个概率做测度变换：
令
，这里的
可以称为share measure
对第一个风险中性测度进行变换可得：

这里的
就是
，因此它的含义也很显然了，Share Measure下，期权被执行的概率。
所以，
和
分别是在两种不同测度下期权被执行的可能性，两个测度之间相差
。

Hsi Wang · 2018-10-16 00:07:38

（d2出现了）这个步骤中，右端的那个应该是少了一个t。

与后面

N(d2)的系数前后不一致，希望楼主看一下。
不过总的来说，我看完之后就明白了。
最近看计量金融，这个公式才教。

曲曲菜 · 2018-10-16 00:07:39

前面各位大神已经解释的很清楚了，下边我说一下我的解释，出自我专栏的文章，供参考。
从Black-Scholes期权定价模型的推导一文，我们知道期权的价格可以写成

，拆开得

。

N(d2)
N(d2)是K后边的积分结果，在推导过程中虽然形式发生了变化，但是值始终没有发生任何变化。所以最后N(d2)=

，也就是股价V大于K的概率，即看涨期权行权概率。描述了期权被执行的可能性。

N(d1)
N(d1)不是V后边的积分结果，因为在推到中，将h(Q)代入后，下限发生了变化。
也就是说N(d1)和N(d2)不相等。在期权定价公式c=

中，其实S0也可以看做一个变量，写成S，是股票的当前价格。所以N(d1)=

，这正好是希腊字母Δ，意义是股票价格变动一个单位，期权价格的变化量。描述了期权价格对股价的敏感性。

另一种解释
期权定价公式也可以写为：c =

。
对照这个公式，我们可以做出如下解释。
N(d2)：行权概率；

：行权时，股票价格预期增长比率（风险中性世界）。

：行权时，股票价格的预期值（风险中性世界）。

推导过程可以看：
曲曲菜：【BSM模型】Black-Scholes期权定价模型的推导

本文出自我的专栏：曲曲菜的田野，欢迎关注。

许涛 · 2018-10-16 00:07:40

无套利，无套利，无套利！！！
然后数学推一下就行了

Black-Scholes 模型中 d1，d2 是怎么得到的？如何理解 Black-Scholes 模型？

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