根据上述原理,美式期权的定价和其他期权相类似,但区别在于要进行一个strike value和continuation value的比较。举个例子,在GBM的setting下,美式call的PDE和terminal condition和欧式call是一模一样的,但不同之处在于在solve pde的过程中每一步都要比较一下节点上strike value和continuation value的大小。如果strike value更大,则在这点用strike value来替代原有的continuation value。这便是美式期权定价的PDE方法。但和传统PDE方法一样,这种方法对于高维度和强路径依赖问题比较鸡肋。另外还有一种在业内更为广泛使用的定价方法,叫作最小二乘蒙特卡洛法(least square Monte Carlo,简称LSMC),也叫做regression-based Monte Carlo。这种方法的执行策略是这样:
1,正向模拟标的的路径,在terminal time求payoff value
2,往前返回一个时间节点,利用未来的discount value,用regression方法估算当前节点的continuation value;
3,比较当前节点的continuation value与strike value,取二者最大做期权在当前节点价格
4,重复2、3步骤直到初始节点。很清楚的能发现,LSMC实际上就是把计算continuation value的期望用回归的方法得了出来。因此LSMC在业内被广泛的应用到nested Monte Carlo问题之中。而且实际上,按照上述LSMC做出来的价格是有bias的。我们可以保留我们在LSMC中得到的在每个时间节点上的regreasion parameters,然后在重新模拟一次MC路径,然后利用这些regression parameters,在新MC路径里重新回归得到continuation value,然后再正向地search每条路径第一次strike value大于continuation value的时刻,然后将这些时刻上的折现期权价格求mean即可。之所以这么做,是因为LSMC在进行定价的同时,其实也通过这些regression parameters得到了这个期权的Optimal strike boundary。而我们第二次MC利用已经Optimal的boundary去search,可以有效的减少误差。除这两种方法,还有二叉树方法(可以很直观的得到对冲策略的估算),stochastic mesh,以及一些通过人工神经网络的方法,我在这里不讲过多,只希望朋友们能有个大概了解。
亲历2015股指期货:市场观测者交易和复盘手记
真正杀人的熊不是熊市中的熊,而是牛市中的熊 从千股涨停,到千股跌停,千股停牌 从万众狂欢,到惊天逆转,一波三折。 我们都是大时代的主角, 硝烟散尽,理性回归。 如果2015可以重来, 复盘股市超级波动, 你将何去何从,是战是降!