本报告介绍了场外期权中结构较为复杂的鲨鱼鳍期权。文章依循品种介绍到定价方法，再到风险对冲手段的脉络依次展开，由浅入深并结合实际的理财产品进行分析，对鲨鱼鳍期权进行了全面的讨论。
报告正文
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什么是鲨鱼鳍期权？
鲨鱼鳍期权又称为敲出期权（knock-out options），属于障碍期权(barrier options)的一种。期权合约会事先设置好标的资产的价格区间，如果在合约约定的时间范围内，标的资产价格始终处于该区间中，这个期权就是一个普通的看涨或看跌期权；一旦标的资产价格跳出了该区间，该期权将自动敲出作废。
根据障碍价格个数的不同，鲨鱼鳍期权可以分为单鲨期权和双鲨期权，单鲨期权只设置了一个障碍价格，以看涨单鲨期权为例，若设定了某一敲出价格,当标的价格高于敲出价格时，期权自动敲出；双鲨期权则有两个障碍价格，只要标的资产价格不在两个障碍价格之间，期权也会自动敲出作废。根据敲出价格与标的资产在初始时刻价格的相对大小，鲨鱼鳍期权也有相应的分类：如果敲出价格高于初始价格，则将其称之为向上敲出期权（up-and-out options）；如果障碍水平低于初始价格，称之为向下敲出期权(down-and-out options)。敲入期权（knock-in options）与敲出期权的概念相反，若标的资产价格跳出了事先约定的价格区间，该期权将自动敲入，此时期权开始生效。敲出期权叠加一份对应的敲入期权可以合成一份普通的看涨或者看跌期权。
1.1 向上敲出期权
向上敲出期权在普通欧式期权的基础上设置了高于标的初始价格S0的障碍水平B（B>S0） ，当资产价格超过障碍水平的时候，期权自动消失。根据投资者对标的未来走势的不同预期，向上敲出期权又可以分为向上敲出看涨期权(up-and-out call)和向上敲出看跌期权(up-and-out put)。
1.1.1 向上敲出看涨期权(up-and-out call)
投资者购入一份行权价格为K的向上敲出看涨期权，且障碍价格为B，若标的资产在合约期间价格高于B，期权自动消失。当B≤K时，向上敲出看涨期权在触碰到障碍价格时就已经消失，即永远无法行权，此时期权价值为0，这样设计的期权将毫无意义；当B>K时，该期权才有可能行权，所以我们只讨论此种情况。假设该期权的权利金为c，合约到期时标的资产价格为ST，若在合约期间标的资产价格从未超过障碍价格B且到期价格低于行权价格K，多头方放弃行权，收益为-c，即亏损了期权的权利金；若在合约期间标的资产价格从未超过障碍价格B且到期价格高于行权价格K，到期收益为ST-K-c；若在合约期间标的资产价格超过障碍价格，期权自动消失，投资者的损失同样为期权的权利金。
1.1.2 向上敲出看跌期权(up-and-out put)
类似的，若投资者购入一份行权价格为同样为K的向上敲出看跌期权，障碍价格为B，若标的资产在合约期间价格超过B，期权自动消失。假设该期权的权利金为p，合约到期时标的资产价格为ST，若在合约期间标的资产价格从未超过障碍价格且到期价格低于行权价格K，期权多头收益为K-ST-p；若在合约期间标的资产价格从未超过障碍价格且到期价格高于行权价格K，期权多头放弃行权，亏损了期权的权利金；若在合约期间标的资产价格超过障碍价格，期权自动消失，投资者的损失同样为权利金。
相较于向上敲出看跌期权，向上敲出看涨期权在银行理财产品中的实际应用更频繁，常常称其为“看涨鲨鱼鳍”期权。
1.2 向下敲出期权
向下敲出期权在普通欧式期权的基础上设置了低于标的初始价格的障碍水平，当资产价格下跌到障碍水平的时候，期权自动消失。根据投资者对标的未来走势的不同预期，向下敲出期权又可以分为向下敲出看涨期权(down-and-out call)和向下敲出看跌期权(down-and-out put)。
1.2.1 向下敲出看涨期权(down-and-out call)
若投资者购入一份行权价格为K的向下敲出看涨期权，且障碍价格为B，假设该期权的权利金为c，合约到期时标的资产价格为ST。若在合约期间标的资产价格低于障碍价格，期权自动消失，投资者损失期权的权利金；若在合约期间标的价格从未低于障碍价格且到期价格低于行权价格，多头方放弃行权，亏损也为期权的权利金c；若在合约期间标的资产价格从未低于障碍价格且到期价格高于行权价格，收益为ST-K-c。
1.2.2 向下敲出看跌期权(down-and-out put)
与之前的分析类似，若投资者购入一份行权价格为同样为K的向下敲出看跌期权，障碍价格为B，若标的资产在合约期间价格低于障碍价格B，期权自动消失。当B≥K时，向下敲出看跌期权在触碰到障碍价格时就已经消失，即永远无法行权，这种情况下期权价值恒为0；当B<K时，该期权才有可能行权。故在此我们同样只讨论B<K的情况：假设该期权的权利金为p，合约到期时标的资产价格为ST，若在合约期间标的资产价格从未低于障碍价格且到期价格低于行权价格K，期权多头收益为K-ST-p；若在合约期间标的资产价格从未低于障碍价格且到期价格高于行权价格K，期权多头放弃行权，将亏损支付的权利金；若在合约期间标的资产价格低于障碍价格，期权自动消失，投资者的损失同样为权利金。向下敲出看跌期权也常内嵌于银行理财产品中，被称为“看跌鲨鱼鳍”期权。
1.3 双边障碍期权
以上的鲨鱼鳍期权均为单边障碍期权，单边障碍期权只设有一个障碍价格，双边障碍期权与单边障碍期权的最大区别在于障碍价格变成了两个，它设有障碍下限B1和障碍上限B2，障碍下限低于标的资产的初始价格，而障碍上限高于标的初始价格(B1<S0<B2)。在一个双鲨期权中，在合约期间只要任意一个障碍水平被触及，期权就自动消失。
对于障碍下限和上限分别为B1和B2，对应的行权价为K1和K2的双鲨期权（参数满足B1<K1<K2<B2），若在合约期间标的价格曾低于B1或者高于B2，期权自动消失；若标的价格一直处于两个障碍价格之间，双鲨期权的到期收益与两普通期权的多头组合完全相同，相当于一只宽跨式期权。双鲨期权与宽跨式期权组合的形状相似，不同的是宽跨式组合可以由两只行权价不同的期权组合而成，但是双鲨期权则不能用类似的单鲨期权组合而成，假设期权的权利金为H，其到期收益情况如下图表所示：
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鲨鱼鳍期权的定价方法
2.1 定价的显式表达式
下面以向上敲出的看涨期权为例，介绍鲨鱼鳍期权定价的显式表达式。假设行权价格为K，障碍价格为B的向上敲出看涨期权权利金为c0，标的资产初始价格为S0。假设标的资产的价格变化为布朗运动，利用布朗运动的性质和随机分析理论，可以推导得到向上敲出看涨期权的定价公式如下（详细推导过程请参见报告）：
上式中T表示期权剩余到期时间，r表示无风险利率，σ表示标的资产的波动率。
至此，我们讨论的鲨鱼鳍期权都是标准形式，即期权敲出以后收益为零；但是在实际情况中，考虑到投资者的需求，许多鲨鱼鳍期权都被设计成带敲出收益的形式，即当资产价格达到障碍水平时，期权失效的同时买方获得一笔补偿收益，称为敲出收益。当障碍期权有敲出收益的时候，使用概率方法根据首次触碰障碍的密度函数对敲出收益进行贴现，可以得到的敲出部分收益。同样以向上敲出的看涨期权为例，可以知道期权敲出的概率为：
故敲出部分期权的价格为：
其中R表示敲出收益，在实际交易中这种收益结构很常见，如果一份鲨鱼鳍期权具有敲出收益，那么在对其进行定价的时候，需要将其拆分成两部分进行定价：第一部分为不考虑敲出收益的部分，另外一部分为敲出部分收益。将完整的期权价格表示为CALL，故有：
这里是以向上敲出的看涨期权为例，其他类型的鲨鱼鳍期权定价思想也是类似的，在此不再赘述。
2.2 蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗是一种通过模拟标的资产价格随机运动路径得到定价产品期望价值，并将此期望价值贴现至现在时点来估计衍生品价格的数值方法。
蒙特卡罗的优点在于可以对各种复杂衍生产品进行定价，思想较为直接，但是在用此方法对标的资产价格进行路径模拟并对鲨鱼鳍期权定价的时候，有一个不得不注意的问题：对于任意一条路径，我们都要确定在此情况下障碍期权是否敲出，故需要比较标的资产价格的最大值（或最小值）与障碍价格的大小，所以在进行蒙特卡罗模拟的时候，我们不仅需要知道每一个时间节点上标的资产的价格，而且要确定在此区间内，标的资产是否被敲出。但是在普通的蒙特卡罗模拟过程中，只能模拟节点的价格，而无法得知在此区间标的价格的最大值，所以无法准确判断标的在此区间是否越过了障碍价格，导致定价并不准确。
为了提高定价的准确性，在此运用一种改进的蒙特卡罗方法（参考文献： Kyoung-Sook Moon. Efficient Monte Carlo Algorithm for Pricing Barrier Options [J]. Communications of the Korean Mathematical Society, 2008, 23(23):285-294.），下面以向上敲出的看涨期权为例进行说明：对于每一条路径(设置时间节点个数为n)，由于标的资产价格服从布朗运动，可以计算出在时间区间[tk,tk+1]内，资产价格不小于障碍价格B的概率Pk,并同时产生0-1上均匀分布的随机数uk，有：
在该路径下，若每个时间节点都满足Sk<B且Pk<uk(k=1,2,3,...,n)，则该期权未被敲出，到期按照欧式期权计算其收益；否则期权敲出。在改进的蒙特卡罗方法下我们可以更加准确地模拟标的资产价格的运动路径，相较于普通蒙特卡罗方法更准确。
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内嵌鲨鱼鳍期权的银行结构化理财产品
3.1 内嵌看涨鲨鱼鳍的理财产品
下面以某银行发行的挂钩沪深300指数的看涨鲨鱼鳍人民币理财产品为例，详细展示此类理财产品的特征。
上表中的行权价与标的资产初始价格相等，障碍价格为初始价格的107%，敲出后的收益率为5%，最低收益率为3.2%。即该理财产品在正常情况下至少能获得3.2%的收益，并且根据产品到期日沪深300指数在存续期内的表现和收盘价高低决定投资者能获得多少额外收益，故该理财产品可以看作由以下两部分构成：
1、固定收益部分：无论挂钩标的到期表现如何，投资者都能获取本金3.2%的年化收益，这一部分可以看作投资者在期初买入一张年化收益率为3.2%的零息债券。
2、0.8份向上敲出看涨期权：这一部分收益与标的资产的表现挂钩，根据产品条约中的收益率说明不难看出，在理财产品的收益起始日（2018年8月9日），确定沪深300指数的收盘价为3397.53点；在理财产品到期日（2018年11月7日）若沪深300指数在此期间的收盘价曾高于3635.36点，那么该理财产品的投资者可以在3.2%的固定收益基础上获得0.8份敲出收益率为2.25%的向上敲出的看涨期权，即年化收益率为5%(5%=3.2%+0.8*2.25%)；若标的合约在产品期限内收盘价从未高于3635.36点，且到期时低于行权价3397.53点，投资者只能获得固定收益率3.2%；若标的从未超过障碍价格且到期价格高于3397.53点，投资者的收益率为3.2%+80%*沪深300指数表现。
细心的读者不难发现，该产品内嵌了0.8份带有敲出收益的鲨鱼鳍期权（敲出收益率为2.25%），它与标准形式下的不带敲出收益的障碍期权定价是有差别的。而且值得注意的是，该产品在合约期间需要每日比较标的资产的收盘价与障碍价格判断期权是否敲出，而标准的鲨鱼鳍期权则只要任意时刻价格高于障碍价格即被敲出，相当于期权的敲出条件被放宽。由于本报告重点在鲨鱼鳍期权产品的分析，所以在此近似将该产品内嵌的期权近似看作标准的鲨鱼鳍期权。
该产品的到期收益结构图如下：
在确定了此产品的收益结构之后，本文将产品拆分成为零息债券和0.8份带敲出收益的看涨鲨鱼鳍期权，分别对未来现金流折现并讨论。选择合约期内的一年期国债收益率均值2.89%作为无风险利率。若投资者的本金为50000元，那么到期时可获得3.2%的年化收益，固定收益部分可以看作零息债券，其价值贴现为：
对于看涨鲨鱼鳍期权（向上敲出的看涨期权），期权的行权价格与标的期初价格相同，K=S0，敲出价格B=1.07S0=3635.36，根据标的资产在合约期间的最大价格是否超过障碍价格来决定期权最终收益。
可以利用2.1中的公式计算期权价格；若使用蒙特卡罗模拟，同样能计算出该期权的价格，在此我们分别展示普通的蒙特卡罗方法和改进后的方法所得到的结果，不难看出该产品属于折价发行。
该产品已经到期，我们知道沪深300指数在2018年11月7日收盘价为3221.91点，低于标的资产的初始价格，且在合约期间该产品的最大收盘价为9月28日的3438.87点，并没有触碰约定的障碍价格。根据产品的条约规定，期权到期时投资者的年化收益率为3.2%，期末资金全部来源于固定收益的投资。
3.2 内嵌看跌鲨鱼鳍的理财产品
下面仍旧以某银行发行的挂钩沪深300指数的人民币理财产品为例，详细展示此类理财产品的特征，并为该产品定价。
该理财产品在正常情况下至少能获得3.2%的收益，期权没有敲出时，沪深300指数到期时刻价格越低投资者收益越大，我们仍然将该理财产品分拆成以下两部分：
1、固定收益部分：无论挂钩标的到期表现如何，投资者都能获取本金3.2%的年化收益，这一部分可以看作投资者在期初买入一张年化收益率为3.2%的零息债券。
2、0.9份向下敲出看跌期权：该产品的挂钩收益部分本质上是0.9份向下敲出的看跌期权，在理财产品的收益起始日（2018年8月9日），沪深300指数的收盘价为3397.53点；在理财产品到期日（2018年11月7日）若沪深300指数在此期间曾经低于收益起始日收盘价的95%（ 3227.65点），那么该理财产品的投资者可以在3.2%的固定收益基础上获得0.9份敲出收益率为1.44%的向下敲出的看跌期权，年化收益率为4.5%（4.5%=3.2%+0.9*1.44%）；若期权始终没有敲出，且到期时沪深300指数高于期初的价格，期权部分的收益为0，只能获得3.2%的固定收益回报；若没有敲出且沪深300 指数期间的表现在-5%~0%之间，投资者的收益为3.20%-0.90*沪深300指数表现，即指数表现越差投资者收益越高。
该产品的到期收益结构图如下：
固定收益部分与3.1中内嵌的理财产品相同，贴现价值为50041.74元。看跌鲨鱼鳍部分的到期收益结构如下：
对期权进行定价的时候，标的波动率σ同样选用沪深300指数在合约期间的历史波动率27.06%来代替，同样可以用显式表达式和蒙特卡罗模拟对该产品进行定价，其贴现情况如下表所示，不难发现该产品同样属于折价发行。
我们知道在合约到期时，沪深300指数的收于3221.91点，低于标的资产的初始价格，而且已经触碰到了约定的障碍价格。根据产品的条约规定，期权敲出，到期时投资者的年化收益率为4.5%。
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鲨鱼鳍期权的对冲
在实际交易中，鲨鱼鳍期权常见的对冲方法有以下几种：Delta对冲、发行配套的敲入期权、静态期权复制等。
4.1 Delta对冲
根据障碍期权的Delta数值买卖现货或者期货可以保持整个投资组合呈Delta中性。但是考虑到障碍期权在接近到期且标的价格靠近障碍价格时，Delta的变化将非常剧烈，所以用传统的方式对冲将会很困难，而且对冲效果也不太理想。
4.2 发行配套的敲入期权
前文已经介绍过, 在标的资产价格越过障碍区间的时候，敲出期权自动失效,而敲入期权恰恰相反，敲出期权失效的时候敲入期权开始生效，所以敲出期权叠加一份标的资产相同、到期时间相同、行权价格相同、障碍条件对应的敲入期权可以合成一份普通的欧式看涨或者看跌期权。
Delta对冲在障碍价格附近会变得困难,但是转化为普通欧式期权之后对冲的难度将会降低。以向上敲出看涨期权为例，若发行一份配套的向上敲入看涨期权，其组合的到期收益如下表所示。不难看出，无论标的资产的价格是否越过了障碍价格，组合收益结构与一份普通欧式看涨期权完全相同，但是这种方法不常用于实际对冲操作。
4.3 静态期权复制
对于Delta不连续的障碍期权，静态期权复制（static options replication）的对冲方式也成为了实际对冲常用的手段之一。由于鲨鱼鳍期权风险对冲的难点在于其敲出边界处的收益是不连续的，所以将敲出边界的风险对冲掉是最关键的问题。只要能构建一个期权组合满足其收益与障碍期权在敲出边界处收益相同，当投资者卖出了鲨鱼鳍期权的时候，只要同时买入事先构建的期权组合就可以对冲掉敲出边界的风险。下面我们以一个简单的向上敲出看涨期权为例，简要介绍如何进行静态复制。
考虑某无股息股票上9个月期限的向上敲出看涨期权，股票价格为50，执行价格也为50，障碍水平为60。假设f(S,t)是当股票价格为S，时间为t的期权价格。我们可以利用(S,t)空间的边界来复制期权组合。我们知道向上敲出看涨期权价值在边界上的表达式如下：
用普通期权在边界上匹配期权价格，从而构建组合的方法如下：
1、首先复制一份与向上敲出看涨期权具有相同的标的资产、相同的到期时间以及相同的执行价格的欧式看涨期权，即构造一份行权价格为50，期限为9个月的欧式看涨期权；
2、将期权的期限分为N个长度为Δt的区间；
3、选择欧式看涨期权，期权行权价格与障碍价格相同，期限为NΔt（=9个月）来匹配边界点{60，(N-1)Δt}；
4、选择欧式看涨期权，期权行权价格与障碍价格相同，期限为(N-1)Δt来匹配边界点{60，(N-2)Δt}，依次到第N个边界点。
在每一个时间点MΔt（M为不大于N的正整数）上，我们需要都用看涨期权构造组合满足资产价格为60的时候期权组合价值为0，就完成了整个静态的复制过程，然后卖空此期权组合即可。当N取值越大，即时间节点越密集时，静态组合在障碍价格处与原期权会越接近，但是所花费的成本也会相应增大。与Delta对冲相比，该对冲的好处在于不需要经常调整头寸。静态期权复制的应用范围非常广泛，尤其在障碍期权的对冲中十分常见。
总结
本报告为场外期权系列报告的第四篇，介绍了常内嵌于银行理财产品中的鲨鱼鳍期权，文章依循品种介绍到定价方法，再到风险对冲手段的脉络依次展开，由浅入深并结合实际的理财产品进行分析，对鲨鱼鳍期权进行了全面的讨论，希望能为投资者提供部分参考。
风险提示：本报告基于公开资料的统计和整理，不构成投资建议。
证券研究报告：
《场外期权系列之四：鲨鱼鳍期权及其理财产品》
对外发布时间：2019年1月16日
报告发布机构：兴业证券股份有限公司（已获中国证监会许 可的证券投资咨询业务资格）
本报告分析师 ：
于明明
SAC执业证书编号：S0190514100003
任瞳
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