「三体问题」无解吗？为什么？

知道三个物体某一时刻的动量，不就能够知道下一刻的运动状态吗？为什么还是无解的？

期权匿名回答 · 2023-2-7 18:43:33

从上世纪60年代起，科学家用统计方法预测出非层级三体系统（三个体质量没有等级差距），在经过足够长的时间后总会有一个体逃逸出去，衰变成二体系统。
放在小说里，就是三体星人只要等的足够久，就会有一个太阳“被甩出去”。
而最新研究已得出非层级三体问题的统计学解。
三体问题难在哪里？

三体问题，最初由牛顿提出。
当时，在用万有引力定律解释了行星(如地球)如何绕太阳运动的“二体问题”后，牛顿又想到了一个进阶问题：

在太阳和地球的双重影响下，月球如何绕地球运动？

于是，他在《自然哲学的数学原理》中提出了三体问题：

三个可以视为质点的天体，在其相互之间的万有引力作用下，应该如何运动？

牛顿的经典力学，描述了一个决定论的世界。拉普拉斯曾断言：“只要知道宇宙中所有粒子的当前位置和速度，原则上就有可能预测任何时刻的情况。”
本以为只是二体问题之上再加一个体而已，很快就能解决。
没想到，牛顿根本找不到这个问题的通用解！

几代科学家经过努力，也只找出三体问题在一些限制条件下的特殊解。
例如位于非等边三角形顶点的三个等质量质点，在初速度为0时的运动规律，几乎毫无章法。

牛顿之后，欧拉、拉格朗日、泊松等许多数学家都向三体问题发出挑战，但依然找不出它的通用解。
其实，早期的科学家根本没有意识到，他们试图解决的三体问题难度有多么恐怖。
直到1885年，瑞典数学杂志Acta Mathematica举办了一次国际数学大赛，其中第一道题是比三体问题还难的N体问题。

对于一个根据牛顿定律相互吸引的多质点系统，假设没有两点发生过碰撞，请找出各点坐标在已知时间函数中的序列展开，在任意时间段内均匀收敛。

翻译一下就是：太阳系稳定吗？会把我们的地球甩出去吗？
时年29岁的法国数学家庞加莱接受了这一挑战。二体问题此前已被牛顿解决，于是庞加莱从限定条件下的三体问题入手：
假设其中两个质点的质量足够大，使得第三个质点的质量对前两个不造成影响（有点像是研究两个行星和一粒灰尘之间的相互作用）。
这还不够，再把它们的运动都限制在同一个平面上。

△庞加莱手稿
怎么样，够简化了吧。
可是庞加莱用了整整三年时间也没得出完整结果，只是解出了一些特殊情况。最后赶在大赛截止日期前提交了论文，还成功胜出，领到了奖金，美滋滋。

△庞加莱
然而在论文出版之前，审稿人对论文的某一部分看不太明白，写信向庞加莱请教。
庞加莱细化自己的论证时，却发现了致命错误，赶紧联系出版社撤回已经印刷的论文，又把奖金全赔进去了。
在修订论文的过程中，庞加莱发现了三体系统对初始条件的敏感依赖性。
即使完全知道了运动的规律，初始条件的细微差别，有时也会造成系统随后运动的极大不同，使长期预测变得不可能。

这个现象后来被称为混沌。
这就是《三体》小说中三体人面临的生存难题了——
在那个世界中，太阳有3个。

由于三个太阳运动轨迹的混沌性，三体人会遭遇昼夜季节无规律更替的“乱纪元”，极端天气带来严苛的生存环境让三体文明不断地毁灭。
现实地球上的天气变化虽然没那么危险，但也是混沌系统。
气象学家洛伦兹用“蝴蝶效应”来解释这种现象，即蝴蝶扇动翅膀造成初始条件的微小差异，经过时间的放大都会造成剧烈的变化。

后来，有了计算机的帮助，科学家们能够计算出更多三体问题中，一些存在周期性的特殊解。
如2017年，来自上海交大的研究团队就利用超级计算机，一口气发现了600多个全新的周期解。

但三体问题的通用解，还笼罩在混沌的阴影下。
用统计方法研究三题问题

既然是混沌系统，那就没办法了。
但并不意味着“三体系统”就研究不了——
这不，还有统计学嘛。
统计力学的著名科学家路德维希·玻尔兹曼，在1871年曾经提出过一个假说：

各态历经假说(ergodic hypothesis)：一个孤立系统从任一初态出发，经过足够长的时间后，将经历一切可能的微观状态。

△双摆系统，混沌系统之一
孤立系统，从热力学角度来说，指不与外界交换能量或质量的系统。
只要时间够长，这种系统中所有可能的状态都会发生。
在这个前提下，加上计算机和计算物理学的发展，苏联科学家在20世纪60年代有了新的突破。

对于由质量无等级差距的三个物体形成的“非层级三体系统”，有一个状态是最可能发生的——
其中一个体最终会逃逸出去，另外两个演变成规律运动、可预测的“双星”系统。这个过程被称作三体系统的衰变(Decay)。

△就像这样
不禁让人想到这个场景……（手动狗头）

就这样，研究的目标变成了“三体问题的统计预测是怎样的”。
之后的研究发展并完善了使用相空间(Phase Space)来描述三体系统状态的方法。(相空间是一个假想的空间，系统每个可能的状态都对应相空间中的一个点)
时间来到2019年，来自希伯来大学的Nicholas Stone等人，终于在此基础上得出了非层级三体问题的统计学闭合解。
然而，这项研究还有一些瑕疵。
按照牛顿的理论，引力是无距离限制的。导致描述三体系统状态的相空间的体积也是无限的。
Stone团队人为假设了一个“强相互作用区域”来解决这个问题。
还有，用相空间体积来确定概率，从而忽略了相空间的相当一部分区域描述的是有规律、可预测的运动情况，其中包括系统衰变后剩下二体的运动。

△特定初始条件下的规则运动
同样来自希伯来大学的物理教授Barak Kol，将研究对象聚焦在系统衰变时相空间的流出通量(Outgoing Flux)上，而不是相空间本身。
这样即使相空间是无限的，其通量也是有限的，就无需引入假设的强相互作用区域了。
Kol团队还补充了统计演化模型来计算系统衰变，可以呈现为下面这张管道图。

从图中来看，三体系统的运动状态可以分成两种，规则(regular)和遍历(ergodic)，其中遍历的情况要明显多于前者。
而逃逸的情况，也同样分成两种，逃逸(escape)和偏移(sub-escape)。
Kol团队把三体系统的状态变化类比成在一个有光滑反射壁和一个小孔的瓶子里不断反射。
在经过一段时间后，从小孔脱离遍历的系统状态会进入“逃逸”或是“偏移”。
用这种统计方法预测的质点逃逸概率，比2019年和2006年的两项研究所做的统计预测，都要更接近数值模拟值。
下图是三个“三体”星系的质量，以及它们逃逸的概率预测(其中M☉是太阳质量，约为2×10千克)。

其中，“统计预测1”是这次研究的预测结果。
从图中可见，相比于其他两项最新研究，这一研究的统计预测结果，都更加贴合用“数值模拟”计算所得到的质点逃逸率。
当然，从图中也能看出，质量更小的质点更容易发生“逃逸”情况。
对于这项研究给出的统计方法，论文作者、物理教授Barak Kol表示：

在数百万台计算机上进行的模拟测试表明，这一理论所计算的结果，和计算机模拟的结果高度符合。

希伯来大学出品

这次的论文作者Barak Kol，是以色列希伯来大学的一名物理教授，曾于斯坦福大学获得物理博士学位，还在特拉维夫大学、普林斯顿大学从事过博士后工作。

PS，如果想要自己制作“三体”模拟动画的话，还可以用文末的Universal Sandbox游戏试试~
可在任意位置添加天体，并修改质量、体积等属性，然后观察运动轨迹。

论文地址： https://link.springer.com/article/10.1007/s10569-021-10015-x
上海交大600个三体特殊解动画： http://numericaltank.sjtu.edu.cn/three-body/three-body-movies.htm
Universal Sandbox： https://store.steampowered.com/app/230290/Universe_Sandbox/
参考链接：
[1]http://www.mittag-leffler.se/library/henri-poincare [2]https://mathematica.stackexchange.com/questions/135857/jacobian-of-parametricndsolve-and-findroot-for-the-three-body-problem
[3]https://phys.org/news/2021-y-theory-centuries-old-physics-problem.html [4]https://nature.com/articles/s41586-019-1833-8
[5]https://arxiv.org/abs/2101.03661
—完—
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期权匿名回答 · 2023-2-7 18:44:17

特定情形下，三体问题是可解的，甚至某些特解非常简单。但是一般而言，三体问题不存在解析通解，即，我们无法用代数表达式写出任意构型下三体问题的通解。
二体问题的约化

要了解三体问题，首先可以从二体问题开始。
二体问题，顾名思义，研究的是两个物体在彼此相互作用下的运动，例如只考虑地球和月亮在彼此万有引力下的运动，就可以抽象为一个二体问题。将两个天体看作质点，设其质量分别为和，初始位置分别为和，初始速度分别为和，根据牛顿运动定律，可以得到：

到此，我们写出了二体问题遵循的运动方程，剩下的问题便是解这组方程了。
使用高中物理中常用的质心的概念，可以将二体问题分解为质心的运动和两个天体相对于质心的运动。
质心的位置为：
质心的运动是一个单体问题，而在质心坐标系下，两个天体对于质心的运动可以用两个天体之间的相对位移来描述，即

此处又变成了一个单体问题。所以，二体问题本质上可以理解为两个独立的单体问题的结合，分别求解这两个单体问题即可得到二体问题的解。
由于求解单体问题是比较容易的，因此二体问题作为可解问题，远远不如“表哥”三体问题名气大了。
三体问题溯源

时间回到1885年，学数学出身的瑞典国王奥斯卡二世赞助了一场有奖数学竞赛，竞赛的题目是4个数学难题，其中之一便是多体问题——求解太阳系的运动问题。
这一难题从牛顿时代提出直到竞赛发布之时，在学术界始终无人能攻克。众多数学物理大师先后折戟沉沙铩羽而归，甚至牛顿力学的奠基人牛顿本人，也只能写出其运动方程，然后在求解的过程中失去信心，认为这是“人类智力不可胜任的任务”。

面对被牛顿认为达到了人类不可解这种级别的难题，刚刚而立之年的庞加莱并没有退缩，他把问题进行了一些简化，只考虑三个星体，归纳为著名的“三体问题”。此后庞加莱奋笔疾书，在比赛提交的论文里发明了一种方法，可以求解任意精度的三体运动轨迹。
不久，赛事方接收了庞加莱的论文，审阅之后认可了他的解答，并给他发了比赛奖金，之后着手把这篇“旷世奇文”刊登在学术期刊上。就在这时，庞加莱发现，自己的解答错了。这下子事情就比较尴尬了。

庞加莱不得不支付了召回杂志等一系列补救措施的费用，虽然奖金并没有被收回，但是最后算下来，庞加莱还是亏了不少小钱钱的。

虽然参加比赛赢了奖金却亏了更多钱，但庞加莱还是在这个过程中收获了很多东西，比如，他提出了相图理论，并最终开创了混沌这一数学分支。庞加莱发现，一般性的三体问题往往是混沌的，即，如果两个三体系统的初始条件即使仅有一点点微小的不同，在后续的演化过程中，两个系统的动力学状态会产生巨大的不同。
混沌系统是确定的，例如三体系统的运动方程是可以用牛顿力学精确写出来的，三体问题在动力学上是确定的，没有随机性。但是混沌系统是不可预测的，因为初始条件的一点微小差别，会导致其之后运动状态的巨大不同，演化时间的增加会放大初值的微小扰动，导致我们无法判断其长期的轨迹。
这一切仿佛上帝开的一个天大的玩笑：我们可以写出它的方程，给定一个初始条件，我们甚至知道它的轨迹是确定的，但我们还是无法预测。
就像一座山，山就在那里，但触不可及，撩拨着探索者的心弦。
代数不可解与数值不稳定

三体问题的“不可解”体现在几个方面：
1、对于一般性的三体问题，无法写出一个解析通解。
我们没办法找到一个类似单体问题通解那样的数学表达式来描述三体问题。可能有小伙伴会问，是不是随着数学的发展，人们就能找到这样的代数表达式呢？
其实也是不可以的。在二体问题的分析中，我们已经知道，在三维空间有x,y,z 3个自由度，因此每一个天体可以写出3个二阶微分方程，如果改写成一阶微分方程，那就是6个。对于三体问题，就会得到18个一阶微分方程。求解三体问题，等价于解这个18个一阶微分方程构成的复杂的方程组。1941年，西格尔从数学上证明了，不可能找全这18个代数积分。所以，代数角度求积分来解三体问题的道路，已经被证明完全不通了。

2、对三体问题的数值解，会面临混沌的初值敏感问题。
既然直接代数积分找解析解行不通，那么为什么不用强大的超级计算机来求数值解呢？在很多领域，只要数值解精度足够，是可以胜任解析解的任务的。
虽然人们通过计算机来试图“开挂”，但是三体问题更狡猾，它是混沌的！
混沌系统的一大特点便是对初值敏感，如果给计算机的初始条件有一点小小的误差，例如我们想研究B612星球、赛博坦星球和奥特之星构成的三体问题，如果在输入程序的初始条件时，迪迦的战斗光线影响了天文望远镜对奥特之星速度的观测，导致了一个小小的误差，之后在经过一段时间的计算机模拟演化后，很可能算出一个和现实偏差巨大的结果，俗话说便是，“失之毫厘，谬以千里”。

迪迦：计算误差让我回不了家了

于是一些小伙伴有疑惑了，如果我换用更精确的数值积分方法是不是就可以了呢？欧拉方法只取一阶不够精确，我换三阶龙格库塔法，甚至四阶龙格库塔法，不行再用更高级的积分方法......
很遗憾，并不是这样的。三体问题在数值上是“病态的”，即问题对初值敏感，就像“蝴蝶效应”一样，蝴蝶扇动翅膀的微扰都有可能造成一场龙卷风级别的计算偏差。病态问题是其数学上内禀的性质决定的，和计算方法无关，换积分算法并不能解决计算的不稳定性问题。
特解

一般的三体问题是没有解析通解的，但这不妨碍在某些特定构型下，三体问题有解析解，甚至是非常直观而简单的解析解。为什么呢？因为特解要求初始条件具有某些限制条件，例如保持一定的对称性，或者初速度具有某种规律。这些条件其实是对一般性三体问题的约束，增加约束可以减少问题的自由度，当自由度足够少，便可以解析求解了。
第一种存在特解的情况便是，把三星摆在一条直线上，然后让两边的星体围绕中间的星体做圆周运动。
其次可以把三星摆在等边三角形的三个顶点上，让它们围绕三角形中心做圆周运动。
稍复杂一点的构型是将它们摆在8字型轨道上，也可以使用解析表达式对其运动进行描述，如下图：

图源网络

图源网络

更多的特解不再一一列举。
三体问题是混沌的，对于其短期内的动力学轨迹，我们可以使用数值方法进行模拟，甚至可以达到非常高的精度。但是对于其长期的动力学轨迹，解析解已经不奢望了，数值解也只能参考参考，就像第二天的天气预报往往很准确，但是15天后的天气预报往往只能参考参考。也许，屏幕前的你打了个哈欠，就能影响地球某个地方未来的天气呢~

期权匿名回答 · 2023-2-7 18:44:22

本回答由美国西北大学终身教授夏志宏在SELF格致论道的演讲内容整理而成。
对三体问题、混沌有兴趣的朋友不妨一读，而且本回答中有且仅有一个“数学词汇”，即使认为自己没有数学细胞的同学，也别害怕，试试自己能读到哪一段嘛，来挑战啊！
很多人可能是从《三体》这部小说里听到的“三体问题”，小说里有不少内容涉及到了三体运动的一些性质。今天我想从科学的角度讲一下三体以及相关的一些很有趣的问题。

长期看科普文章的话，会培养起一种条件反射，那就是——当数学家说“有趣”的时候，会感到害怕

三体问题的由来

近代科学是从牛顿开始的。牛顿是一个非常了不起的科学家，也许是人类最伟大的科学家，他发现了牛顿力学，发现了微积分，发现了万有引力定律。
这是美国一位著名漫画家画的一幅有关牛顿发现万有引力的漫画。漫画上有一棵苹果树，苹果树下坐着的就是牛顿，旁边有一个掉下来的苹果。

据说，牛顿在剑桥大学苹果树下睡午觉的时候，一个苹果掉下来砸在了他的头上，结果触发了他的灵感，让他发现了万有引力定律。当然，这只是一个传说。
事实上，万有引力定律的发现经过了牛顿之前几百年来众多科学家的共同观测和辛勤劳动，它是根据许多对太阳系行星的运动观测数据而总结得来的，其中最著名的科学家应该是开普勒。

开普勒提出了“行星运动三大定律”。这三大定律又是从哪儿来的呢？是从一个叫第谷的天文学家那里得来的。第谷这个人非常有意思，有兴趣的话，大家可以去查一下他的相关资料。
第谷是一位丹麦天文学家，他脾气暴躁，但是跟皇帝的关系比较好，皇帝还专门给了他一座岛，方便他在岛上进行天文观测。
第谷也是最后一位用肉眼观测行星运动的天文学家。那时的观测任务非常艰难，不过皇帝给了他很多资源，甚至在岛上给他建了一个造纸厂，专供他研究需要使用的纸张。
第谷脾气暴躁，年轻的时候跟人打架，鼻子让人家削了。进行天文研究工作一段时间后，新皇帝上位了，但新皇帝不喜欢他，第谷只好去往捷克，因为那时捷克的皇帝很喜欢他，所以他就到了捷克继续做他的天文学研究。
第谷经常出入捷克皇宫，不过到了捷克4年后，有一次他从皇宫回来后居然死了。当时人们都在争论为什么第谷从皇宫回来就死了。
虽然有人怀疑他可能是被毒死的，但更普遍的认为是，他在皇宫喝了太多酒，因为不好意思上厕所，结果活活让尿给憋死了！他可能是唯一一个让尿给憋死的科学家。
当然，这种说法一直存在争议。所以在第谷死了300年后的1901年，人们把他的尸体挖了出来，想确定他是否真的是让人毒死的。但结果发现，第谷确实没有中毒，他真是让尿给憋死的。
特别倒霉的是，又过了100年，人们又在争议关于第谷的另一件事——第谷因打架让人给削了鼻子，那后来的假鼻子是用什么材料做的。
一部分人争议是用铁做的，一部分人争议是用铜做的。所以10年前，第谷的尸体又被挖了出来。经过检查，他的假鼻子是用铁做的。这个人真是有趣又倒霉，但就是这个人奠定了万有引力定律的一个基础。
刚才说了，牛顿发现了微积分、牛顿力学和万有引力定律，这三个发现恰好把一个天文学问题变成了一个数学问题。为什么这么说呢？因为我们可以根据物理定律来精确计算行星运行的轨迹。
我是南京大学天文系毕业的，但是到美国以后就开始做数学，其实我所做的一部分工作跟天文、数学都有关系。
天文学问题变成数学问题，也就是变成解一组微分方程。大家可能知道，方程有代数方程，也有微分方程。从某一程度而言，预测天体运行就变成了解一个数学的微分方程。
当然，最简单的是二体问题，比如预测太阳和一个行星的运行轨迹。这时候要解的微分方程相对比较简单。
二体问题的解人们可以把它写出来，而且经过简单训练的人，都可以写出二体问题的解。

但三体问题就比较复杂了，这也是我们今天讲的主题。
举一个三体问题的例子。比如研究太阳和两个行星的运行轨迹，这就构成了一个三体问题。当然，也有可能是两个像太阳一样的恒星加一个行星那样的三体问题。
这张图中，上面是太阳和一颗行星构成的一个简单二体问题，它的解是比较规范的，因为星体的运动相对规则。
我给大家画了一个三体问题的轨迹，你会发现，这三个支点在空间的运转轨迹是一个非常复杂的形状，它所描述的轨迹毫无规则，这也是三体问题的一个非常基本的性质——三个天体的运动毫无规则可循。
太阳系除了太阳，还有八大行星，还有冥王星这类的矮行星，还有几百万颗小行星，有的行星还有卫星，还有现在没发现的其他大行星……

所以，仅太阳系这组微分方程就非常庞大非常复杂了，远远超过三体问题，是多体问题了。我们现在连三体问题都很难解决，要解决多体问题就更难了。
三体问题是否可解？

三体问题到底是否可解？也就是说，有没有一个可解的公式？
很遗憾，一般的微分方程都不存在一个解的公式，因为我们所掌握的函数太有限，用初等方法是没有办法写出解来的。

大家可能知道，代数方程比微分方程要简单得多。一个二次方程谁都可以解，三次方程稍微看一下书的人也可以解，四次方程可能比较复杂，但也还是可以解的。
到了五次方程以后，就再也不存在初等的解了。也就是说，无法用一个公式把五次方程的解写出来。当然，这并不是说五次方程没解，五次方程肯定有五个根，它肯定是有解的，但是我们没有办法把它的解用公式的形式写出来。
著名的伽罗瓦理论和阿贝尔定理，都在讲五次方程不存在一个初等形式的解。
但是在牛顿所处的时代，还是有很多人试图解微分方程，他们最想做的事是找首次积分，也叫经典解。
解方程需要找首次积分。能量积分、角动量积分、动量积分，这都是首次积分。人们花了几百年的时间想找三体问题的其他首次积分，但非常遗憾的是，直到现在，现代数学还是证明不存在其他的首次积分。
也就是说，用这种经典的方法去解三体问题是不可能的，在经典意义下，三体是不可解的。
不可解反应到实用上是什么意思呢？就是我们无法写出一个公式，也就无法告诉你们一个确切的时间。
比如，你想知道一百万年以后太阳系是什么样子的，但因为三体问题没有一个解的公式，因为我写不出来公式，所以就无法告诉你答案。
不过，写不出来不等于没有解，解还是有的，只是我写不出它的公式。
当然，我们可以让计算机去计算，但这中间涉及到另一个问题——误差。让计算机去算是有误差的。短期之内误差很小，时间越长，误差越大。
所以，几千年、几万年、几百万年以后，到底会发生什么，用现在计算机算出来的解去解答，还是不可信的。
这也就说明，我们没有办法预测行星运动的未来。虽然没法预测，但我们还是想知道行星运动的大概情况。
比如，太阳系是不是稳定的。我们写不出解，但能否用其他数学分析方法得出太阳系是稳定的这个结论呢？毕竟这对我们来说还是挺重要的。如果太阳系不稳定，地球离太阳太远，就太冷了；离太阳太近，又太热了。

小说《三体》中就描述到，因为三体运动非常没有规律，所以有时候三个太阳同时出现，过高的温度把人全都烧死了，甚至烧成另外一种形态的生命。所以，我们对这类问题还是很感兴趣的。
牛顿认为行星运动是不稳定的。不过，牛顿虽然是一位伟大的科学家，但他非常相信上帝，他的下半辈子一直想试图用数学方法去证明上帝的存在。他甚至认为，太阳系不稳定，但如果有上帝帮忙，如果上帝每隔一段时间来推动一下地球，就可以解决问题了。

现在的人们很难相信，牛顿居然花了很长的时间用数学公式去推导上帝哪天会来推地球。
虽然牛顿生活在文艺复兴时期，那时大家的思想比较开放，但牛顿的这种想法仍然受到了众多科学家的批判。
其实，那时候基本上所有的大科学家都想研究三体问题，因为这是一个大的没法解决的问题。每个科学家都有自己的想法，有的认为行星运动是长期稳定的，有的认为不稳定，他们都有自己的想法和证明方法。
但是，通过这么多年的观测和研究，人们越来越认识到，在物理世界，稳定的现象其实是罕见的，不稳定才更常见。这种不稳定现象，套用一个现代的词汇，就叫作“混沌”。
什么是混沌？

下面我要告诉大家什么是混沌，希望听完之后，你们也可以轻松地告诉其他人什么是混沌。
提到“混沌”，就不得不说一段有趣的历史。这是奥斯卡二世的画像，他同时也是当时瑞典和挪威的皇帝。

奥斯卡二世是一个很有意思的人，他非常喜欢艺术、科学，读的数学书也很多，经常请一些科学家去为他讲座。
在他七十大寿的前两年，有个叫Mitag-Lefler的数学家建议他成立一个科学大奖，这个大奖将在两年后皇帝七十大寿的宴会上颁发。这个奖就是为谁能解决三体问题而设置的。当然，我们现在知道三体不可解，所以这个奖其实是白设的。
很多人疑惑为什么诺贝尔奖不设立数学奖，据说是因为Mitag-lefler把诺贝尔的夫人抢走了。当然，这也是一个传说。
奥斯卡二世特别喜欢科学，某一天他请巴黎大学的一个数学家去宫廷讲数学，这个数学家叫潘勒维。潘勒维是法国第84届和第92届总理，同时，他还是一个数学家。

在为奥斯卡二世做讲座的时候，他提出了潘勒维猜测（在几个星体通过万有引力相互作用的情况下，其中某个星体可能在有限时间内，被其他星体甩到无限远的地方去）。潘勒维猜测提出近100年后，到最后是我在我的博士论文里终于把这个问题给解决了。
为什么我能解决呢？其实是因为我们现在对三体或者多体的系统有了更进一步的认识，我们知道了一种叫“混沌”的结构，我就是用混沌的机理去解决潘勒维猜测的。
回到刚才说的奥斯卡二世设置的大奖。跟潘勒维一起参与夺奖的还有另一位数学家庞加莱。庞加莱对数学的影响也非常大。

当时，庞加莱写了一篇文章，宣称自己解决了三体问题，于是评奖委员会将奥斯卡二世大奖颁给了他。但我们知道，三体问题不可解。
事实上，庞加莱的一个学生很快就发现他的文章里有一个致命的错误。这就麻烦了。大奖居然颁给了发表错误文章的庞加莱。庞加莱开始意识到三体问题的复杂性，所以他重新写了一篇文章，里面首次提到了混沌现象。
最后，评委会主席Weierstrass认为，尽管庞加莱没有解决三体问题，但因为重写的新文章非常重要，所以仍然决定把大奖颁给他。

有趣的是，大奖金额约是庞加莱两个月的工资，但因为他写错了一篇文章，自己必须重新写、重新印刷，重新发行印有文章的那期杂志，结果花了他四个月的工资，算下来，他还亏了两个月的工资呢。
混沌与不稳定性

什么叫混沌？我们从这幅简单的漫画说起。这幅漫画所讲述的故事可能有人听说过。
画中跪在地上的是一位印度数学家，他手上抓着一个国际象棋的棋盘，画中坐着的是印度皇帝。这位数学家发明了国际象棋，皇帝决定给他一个奖赏。

数学家说很简单，我要的奖赏是：你在棋盘的第一个格子上放1颗麦子，在第二个格子上放2颗麦子，在第三个格子上放4颗麦子，在第四个格子上放8颗麦子……以此类推，你只要把这个棋盘的格子都放满了就行了。
皇帝一听，心想这很简单，不过是几颗麦子而已。
但我们来看一看，如果要满足要求，到底需要多少颗麦子呢？棋盘上一共有64个格子，那就需要264-1颗麦子！我们换算一下，看看一共需要多少升麦子。是140万亿升麦子！

从人类种麦子到现在，全球生产的麦子也没有这么多。按照现在的产量，估计要2000年以后才能把这么多麦子生产出来。
这个例子说明，经过一次一次的加倍，加到63次倍以后，这个数字将变成一个天文数字。所以，任何数据都不能一次一次地加倍。
比如，想要GDP每7年就加倍一次，如果真按这个速度算下去，那将是一个天文数字。所以，几何级数的增长速度特别快。
这跟我们的物理系统有什么联系呢？举个例子。假如我在一个盒子里放几个空气分子，我先测量这些分子的初始位置和初始速度，并且有很小的误差。

通过观察这些分子的运动情况，你会发现，因为分子运动是非常不稳定的，所以不到一秒钟，误差就会加倍。再隔一秒钟，误差又会加倍。我说一秒钟，其实不到一秒钟误差就会加倍。
也就是说，60秒钟以后，原来的误差值就可能变成刚才你们看到的那个天文数字了。
这说明一个物理系统，如果微观状态下小的误差一直在加倍，那这个误差就会对这个系统产生非常大的影响。
当然，数值虽然很大，但盒子的大小限制了分子的运动，分子运动到盒子边缘后会被反弹回来，所以从整体来讲，它的误差不会达到那个天文数字。但是从局部、从微观来讲，它的误差可以让原来那个系统和预测的系统完全不一样，这就是为什么我要举这个例子的原因。
我想说明，一个混沌的动力系统，小的偏移或者偏差可以导致误差以指数级形式增长，但是整体误差还在盒子的限制范围内。
所以，什么叫混沌？混沌就是在小范围、在微观状态上，误差呈指数形式增长。在数学上，这叫正的Lyapunov指数，这是一个数学词汇，也是今天唯一的一个数学词汇。

混沌说明什么？说明将来不可预测。
为什么将来不可预测？因为最开始测试的精度精确到多少都没有用，一分钟以后的那个系统已经完全跟原来的系统都什么没关系了。这就是一个混沌的动力系统将来不可预测的原理。
混沌系统的应用

什么样的系统是混沌系统呢？比如，气象系统。大家可能听说过“蝴蝶效应”。原本天气预报说北京今天有暴风雨，但实际并没下雨，为什么呢？

原来，两个星期以前，在地球另一边的芝加哥，有一只蝴蝶突然抖了一下它的翅膀，对空气产生了扰动。
就是这么一个小的波动，一秒钟后可能就变成两倍大小的波动，再等一秒钟，就变成四倍大小的波动……两个星期以后，“蝴蝶效应”影响到了北京，所以今天北京是晴空万里，没有下雨。
如此说来，想要准确预告天气，就必须知道芝加哥每一只蝴蝶两个星期前都干了什么。但是，还有很多比蝴蝶大得多的物体，比如飞机、火车，这些都非常大。
另外，要准确预告两个星期以后的天气，还必须把芝加哥所有东西的运动都弄清楚。当然不仅芝加哥，纽约也一样。所以，不要指望看了天气预报，你就可以淡定地安排周末去爬山，没准儿周末突然下大雨了。
但你不要怪气象局，这跟气象局关系不大，要怪就怪混沌的动力系统吧，气象系统就是一个混沌的系统。
有很多混沌的系统，三体问题现在就被证明是一个混沌系统，这也是为什么三体是一个非常复杂的运动。气象系统、湍流力学系统都是混沌的系统。

另外我刚才说了，为什么我能证明潘勒维猜测？就是因为我证明了天体运动里有一套特殊的混沌动力系统。
因为时间关系，我没法给大家解释我证明的到底是什么，如果大家感兴趣，可以去看一本名叫《天遇》的书。那是一本英文科普书，书中介绍了我的相关工作，现在有中文译本。

最后我想讲一个混沌系统应用的例子。1991年4月，日本发射了一个名叫Hiten的月球探测器，但探测器上天后，科研人员却发现燃料不够，无法到达月球轨道。
于是，日本向美国宇航局求救，美国宇航局派了一位名叫Belbruno的数学家来帮助日本人。
Belbruno重新设计了轨道，最后终于把这个探测器重新送回到了月球轨道上。Belbruno就是利用了有限燃料把探测器送到一个混沌区域。

混沌区域不是不可预测吗，那么，稍微花一点燃料推动一下探测器，就会对探测器的运动产生特别大的影响。
所以，只要把探测器放到一个合适的地方就有利；如果这个地方不合适，那稍微让它抖动一下。
有一天，Belbruno突然给我打了一个电话。他说我写的一篇文章从理论上证明了哪个区域最容易产生混沌效应。

他说，当时自己花了一个月的时间去设计新的轨道，假如那时就知道我的那篇文章，可能只要花几天时间就可以重新设计出轨道，就可以把月球探测器给救下来了。
过了几年，美国休斯公司发射一颗卫星后遇到了同样的问题：卫星上天后燃料不够，无法达到预定轨道。
这时，Belbruno轻车熟路，重新设计了轨道，成功地把那颗卫星送到了预定的轨道上。这就是一个非常有趣的关于混沌系统的应用例子。

再次有趣~

出品：SELF格致论道讲坛
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期权匿名回答 · 2023-2-7 18:44:45

你说的无解要从两方面看，一方面是解析解，每个引力方程可以转化为6个一阶微分方程。三个就是十八个，但是目前，我们只能找到十六个积分，无法求解这个十八阶的微分方程租，其实也不是目前，1941年时，西格尔已经证明了不可能找全的，所以解析解别想了。除非特殊情况，那就等于增加了约束。
另一方面是数值解，关键在于求解过程中每一步计算都存在误差，叠加起来使得结果无法稳定收敛。所以也解不出。
综上所述，这问题解析解无解。数值解依赖于算法和计算机的发展

期权匿名回答 · 2023-2-7 18:45:25

说无解是不准确的。相对准确的说法是没有一般形式的稳定解。题主提到的“知道某个时刻的动量，就知道下一个时刻的动量”，从数值分析的角度来说，在误差允许的范围内是这样的。从下一个时刻的动量出发，继续预测下下个时刻的动量，误差就开始积累了。如果误差积累的过快，以致于还没算到需要的那个时刻，计算结果就已经发散了，继续迭代下去就是没有意义的。我们称这样的数值问题为“病态问题”（ill-posed problem）。病态问题的一般特点是计算发散（不收敛）、收敛过程不稳定（即使能收敛，也很脆弱，各种敏感）、收敛结果不唯一（就算最终稳定收敛了，也有可能收敛到奇葩的答案上了）。
对付病态问题的一般方法是规则化。例如，假设椭圆轨道、假设所有轨道都在同一个平面内，等等，这些约束条件未必合理，所以得到的稳定解的代价就是注入了先验的偏差。另外还可以使用微扰法，例如，如果已知三体中的某个质量非常小，或者某两个质量非常小，可以先将三体系统近似成两个两体系统，然后检验精度是否足够，如果精度不足，再一阶修正、两阶修正的往上加。
总之，三体问题没有那么邪乎，不是不可解的，不是哲学问题，就是实实在在的、非常普遍的数值问题而已，散发着大自然浓浓的恶意。

「三体问题」无解吗？为什么？

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