由于期末考试将近，而我平时基本没去上过课，所以准备重新拾起我的思维导图+爆肝学习法，先占个坑，后面慢慢更新，需要本书PDF资源或者课件PPT的可以点击网盘链接
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提取码：9999
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Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho的定义、近似计算以及对冲应用 Delta
交易组合价值对于标的资产价格的一阶偏导
公式
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标的资产：持有Delta+1，卖空Delta-1
远期合约：做多Delta+1，做空Delta-1
无收益资产看涨期权做多：Delta=N(d1)>0.
无收益资产看跌期权做多：Delta=-N(-d1)=N(d1)-1<0
性质
可加性
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Gamma
交易组合价值对于标的资产价格的二阶偏导
公式
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性质
所有线性产品的Gamma等于0
看涨期权与看跌期权的Gamma都大于0
期权的Gamma在标的资产接近于执行价格K时达到最大值
可加性
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Vega
交易组合价值变化与标的资产价格波动率变化的比率
公式
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性质
所有线性产品的Vega皆为0
可加性
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Theta
交易组合价值变化与时间变化的比率
公式
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性质
看涨期权多头头寸的Theta通常为负
看涨期权的Theta恒为负
Rho
交易组合价值变化与利率变化的比率
公式
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性质
当利率提高时，看涨期权价格升高，而看跌期权价格降低
Taylor级数展开
(S, t)
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对于一个Delta中性的资产组合
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(S, t, 波动率)
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利率风险
零息利率曲线的构造 零息利率：N年的零息利率指今天投入资金，连续保持N年后所对应回报的收益率
债券定价：债券的理论价格等于债券将来的现金流贴现后的总和
假定债券在 ![]() 时刻支付的资金流为 ![]() ，债券价格B与连续复利收益率y之间的关系式为： ![]()
![]()
债券(到期)收益率：使债券贴现的现金流总和等于其市场价格的贴现率
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债券(到期)收益率其实就相当于平均收益率
久期（Duration）
付款时间的加权平均（weight为 ![]() ）
金融产品的久期是指投资人收到一笔投资的所有现金流支付平均需要等待的时间
债券久期：用于衡量债券价格对收益率的敏感度（我认为可能是因为时间是影响收益的主要因素）
我们用 ![]() 来表示现金流 ![]() 以y为贴现率从时间 ![]() 贴现到当前的值，则债券的价格可表示为
![]()
![]()
weight
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4.709/94.213约等于0.05
久期与连续复利收益率y的关系（可求）：
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修正久期（一年复利m次） ![]()
债券的曲率（凸度） ![]()
债券曲率是将来收到现金流的时间平方的平均值
![]()
债券价格二阶近似式
绝对额久期（dollar duration）是指修正久期与债券价格的乘积
绝对额曲率（dollar convexity）是指曲率与债券价格的乘积
设投资组合中第i种资产的久期值为 ![]() ，数量为 ![]()
投资组合的久期等于各成分资产的久期之和： ![]()
投资组合的曲率等于各成分资产的曲率之和： ![]()
投资组合免疫
- 通过调整与利率有关的投资组合，使其久期为零，避免投资组合价值受利率曲线较小平移的影响；
- 或者使其久期和曲率为零或接近于零，避免投资组合的价值受利率曲线较大平移的影响。
投资组合价值P波动与利率y波动(Dy较大时)的近似关系（把上式B换成P）：
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例题
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应使投资组合P的总久期为0
久期与曲率的定义及应用(免疫) 例题
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test
局部久期
久期概念的严重问题：假设所有利率变化幅度相同
局部久期方法，用于衡量零息利率曲线局部一点移动对债券价值的影响
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例题——局部久期
利率曲线的非平行移动 收益曲线上第i点局部久期： ![]()
第i点 ![]() 变化触发的组合价值变化为![]()
利率敏感度及其对冲 利率的敏感度DV01
利率曲线上所有利率一个基点的变化所造成的投资组合价值 ![]() 的变化量
组合价值相对于利率变化的 ![]() （一阶）
![]() 绝对额久期乘以0.0001
DV01等于交易组合价值乘以久期再乘以0.0001。
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![]()
例题——利率的敏感度DV01
如何计算还未知...
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对冲举例
波动率的定义及计算 波动率
某个变量的波动率定义为该变量在单位时间内连续复利收益率的标准差。
（期权定价中 ![]() 为一年，风险管理中为一天）
考虑金融资产价格在等时间间隔内变化，其在t0, t1, t2, …, tn时刻的价格为S0 , S1 , S2, …, Sn , Dt = t1 - t0 =…= tn – tn-1
该资产在 ![]() 内的
简单收益率： ![]()
对数收益率： ![]()
波动率（收益率的标准差）：
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一年收益率与一天收益率的换算关系
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前提：假设每日的回报是相互独立的且具有同样的方差
在金融领域，对于某一确定时刻t的资产价格，通常讨论它的标准差；而对于一个时间序列，通常讨论它的波动率：
个人理解：对于价格来说，标准差重要，而如果将其放在时间序列中，最重要的就不再是当天的价格，而是当天价格相对于前一天价格的收益率...
相较于标准差：
波动率越大，路径(资产收益率时间序列)的起伏就越大；波动率越小，路径的起伏就越小；如果波动率为零，路径就是一条直线。
比如一条斜率不为0的直线，波动率为0，而标准差大于0
隐含波动率
交易员从期权价格中计算出的隐含的波动率
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一个规律：在实践中，汇率等市场变量所服从的分布的尾部比正态分布的尾部要肥厚
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与正态分布相比，幂律分布可以更好地拟合许多市场变量的实际收益率分布特征。
历史波动率
历史波动率是一个用以衡量过去一段时间内实际资产价格变动的尺度
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波动率模型构建
基于样本方差的日波动率模型
利用 ![]() 的m天观察数据，估计第你n天的波动率 ![]()
![]()
不算当天的收益率
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由上图简化为下式（简化过程见P172）
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基于样本方差的日波动率模型—加权改进
针对观察值距离当前时间的远近给予不同的权重 ![]()
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ARCH模型：方差估计值与长期平价方差和m个观察值有关
在ARCH(m)模型中，考虑某长期平均方差 ![]() ，同时赋予其权重 ![]() ，模型被推广为：
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EWMA模型与GARCH(1,1)模型 指数加权移动平均模型(EWMA)
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若 ![]() ，带入上式整理，可得EWMA模型：
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这里权重用 ![]() 是因为根据 等比数列求和公式 当n趋近无穷大时， ![]() 约等于![]()
同样根据等比数列求和公式 也可证明上式
RiskMetrics使用λ=0.94进行波动率预测。J. P. Morgan发现，采用该权重，许多市场变量方差的预测与实际非常接近
GARCH(1,1)模型
在广义的模型GARCH(p，q）中的![]() 是从最近p个的观察值及最新q个的有关方差的估计而计算所得的
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否则对应于长期方差的权重会为负值
注意上图中使用到的均为方差,计算波动率需开方
p表示选取距离观测点最近的p个时间，q表示选取从此时往前q个波动率
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例题
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第三问的计算结果，注意波动率是一阶的，要记得开方
最大似然估计 最大似然估计_百度百科
选取特定的参数数值，使得历史数据发生的概率最大。这些数值就是参数的最大似然估计值。
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可以利用python求解p值：Python解数学方程 - Heywhale.com
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GARCH(1,1)模型与EWMA模型的联系
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波动率的预测
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例题，算出来答案为5.473e-05
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证明过程
关于 ![]() 与均值回归/逃离的阐述↓
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波动率期限结构：期权的波动率和期权期限之间的关系
对第t天后的瞬时方差的估计V(t)相当于长期平均方差+当前方差与长期平均方差之差的贴现
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相关系数以及关联性 相关系数与协方差
变量 V1和 V2的相关系数correlation
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变量 V1 和 V2 的协方差被定义为：
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所以相关系数又可以写成
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SD表示标准差
监测相关系数：EWMA模型与GARCH（1,1）模型
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更新协方差cov的EWMA公式：
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例题
更新协方差cov的CARCH（1,1）公式：
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相互独立性
如果两个变量V1 和V2中的任意一个变量的信息不会影响另一个变量的分布，那么这两个变量在统计上被定义为相互独立
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相关系数为0并不一定相互独立
假设变量V1 = –1, 0, 及 +1 有均等的可能性。当V1 = -1 或 V1 = +1 时，V2 = 1；当 V1 = 0 时，V2 = 0。很显然V2 和V1 有关联性，反之亦然。但是，它们的相关系数为0。↓
相关系数只是用于表达变量之间的某种线性相关性
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高斯Copula函数 映射到正态分布函数上，见书P174
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因子模型：对于服从多元正态分布的N 个变量 Vi (i = 1, 2,..N), 需要估计N(N1)/2 个相关系数；对于服从多元正态分布的N 个变量 Vi (i = 1, 2,..N), 需要估计N(N1)/2 个相关系数；
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贷款组合应用
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在险价值的定义及计算
在险价值和预期亏损
风险价值度- VaR（Value as Risk）：在特定的时间长度及给定的概率下最糟的可能损失。
有时风险应该通过最糟情况的价值而不是通过期望值和标准差来衡量。
风险价值度是以最大潜在的损失来衡量风险。
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当交易组合价值变化在某指定展望期服从正态分布
只关心最糟糕的情况。
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例题：N(2.33)=0.99
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利用python计算的结果，注意要取0.01
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例题
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例题：根据下图
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预期亏损的的定义及计算 预期亏损（Expected Shortfall，ES）：
预期亏损是指损失大于一定VaR水平下的预期损失。（C-VaR （conditional VaR）、tail loss））
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满足一致性条件的风险度量
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可能需要记忆
VaR 满足前3个条件，但是不满足第4个条件。
预期亏损满足全部4个条件。证明例题如下：
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VaR不满足次可加性
正态分布下VaR与ES的计算公式
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有关概率论里的置信度
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回顾测试 衡量风险测度在现实中的表现的一种手段
解释：
假设我们开发出一个计算1天的99% VaR的模型。在回顾测试中，我们要找出来交易组合在1天内的损失有多少次超出了1天的99% VaR,实际损失超出VaR情形被称为例外( exception)。如果例外的天数大约占整体天数的1%，我们应该对我们的VaR模型表现感到欣慰。但是，如果例外的天数占整体天数的比例远大于1%（例如7% )，我们有理由认为VaR的估计偏低。从监管部门的角度来看，由这样的VaR而得出的资本金量会太低。此外，如果例外情形发生的频率远低于1%（例如0.3%)，我们有理由认为这里的 VaR估计偏高，由此而得出的资本金量则偏高。
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例题：15.2% 大于 5%（置信区间） 大于 1.9%
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0.152的计算过程
模型构建法及其推广 难以被应用于包含期权等非线性产品的资产组合
压力测试 可能是考概念...公式很少
章后习题答案
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T9.6 正态分布
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几个作业（原来没做，现在补齐...）
假定在上个交易日结束时某资产X的价格为300美元，价格波动率为每天1.3%,今天X的价格在交易结束时为298美元，假定在上个交易日结束时资产Y的价格为8美元，价格波动率为每天1.5%。Y的价格与X的价格的相关系数为0.8。今天在交易结束时Y的价格同昨天相同，即8美元。请求出最新的X价格及Y价格的波动率及相关系数，在计算中请采用：(a)EWMA模型，参数为λ=0.94；(b)GARCH(1,1)模型，其中模型参数ω=0.000002、α=0.04及β=0.94。在实践中，对于X和Y的ω参数是否相同
参照下题
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解答：
import math
EWMA_x = math.sqrt(0.94*0.013**2 + 0.06*((300-298)/298)**2)
EWMA_y = math.sqrt(0.94*0.015**2 + 0.06*((8-8)/8)**2)
GARCH_x = math.sqrt(2e-6 + 0.94*0.013**2 + 0.04*((300-298)/298)**2)
GARCH_y = math.sqrt(2e-6 + 0.94*0.015**2 + 0.04*((8-8)/8)**2)
print(f&#39;EWMA_x:{EWMA_x} \nEWMA_y:{EWMA_y} \nGARCH_x:{GARCH_x} \nGARCH_y:{GARCH_y}&#39;)
# EWMA_x:0.01271072700378784
# EWMA_y:0.014543039572248987
# GARCH_x:0.01275389041207483
# GARCH_y:0.014611639196202456
10.21GARCH(1,1)模型中的参数α=0.03、β=0.95以及ω=0.000002：
(a)长期平均波动率为多少？
(b)如果当前波动率为每天1.5%,你对20天、40天及60天后的波动率预估为多少？
(d)假定有某一事件使得日波动率由0.5%增至2%,请估测这一事件对20天、40天及60天后波动率的影响。
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b使用该公式
import math
a,b,w,sig_n = 0.03,0.95,2e-6,0.015
V_L = math.sqrt(w/(1-a-b))
sigma_20 = math.sqrt(V_L+(a+b)**20*(sig_n**2-V_L))
sigma_40 = math.sqrt(V_L+(a+b)**40*(sig_n**2-V_L))
sigma_60 = math.sqrt(V_L+(a+b)**60*(sig_n**2-V_L))
print(f&#39;V_L:{V_L}\n&#39;)
print(f&#39;sigma_20:{sigma_20}\n&#39;)
print(f&#39;sigma_40:{sigma_40}\n&#39;)
print(f&#39;sigma_60:{sigma_60}\n&#39;)
sigma_20_delta = math.sqrt(V_L+(a+b)**20*(0.005**2-V_L)) - math.sqrt(V_L+(a+b)**20*(0.02**2-V_L))
sigma_40_delta = math.sqrt(V_L+(a+b)**40*(0.005**2-V_L)) - math.sqrt(V_L+(a+b)**40*(0.02**2-V_L))
sigma_60_delta = math.sqrt(V_L+(a+b)**60*(0.005**2-V_L)) - math.sqrt(V_L+(a+b)**60*(0.02**2-V_L))
print(f&#39;sigma_20_delta:{sigma_20_delta}\n&#39;)
print(f&#39;sigma_40_delta:{sigma_40_delta}\n&#39;)
print(f&#39;sigma_60_delta:{sigma_60_delta}\n&#39;)
# V_L:0.009999999999999995
# sigma_20:0.058941768518546774
# sigma_40:0.07512175817550767
# sigma_60:0.08421055771210947
# sigma_20_delta:-0.002126633763393858
# sigma_40_delta:-0.001113025122375641
# sigma_60_delta:-0.0006626993678344323假定一个交易组合每天价值变化的一阶自相关系数为0.12，由一天VaR乘以根号10而产生的10天VaR为200万美元，将自相关性考虑在内时，VaR的最佳估计时是多少？
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题外话：
杭电的同学千万不要选JH的金融风险管理这门课，课上的很水，作业也没答案，考试考得巨难......
参考资料
风险管理与金融机构第二版课后习题答案+(修复的)()解析.doc (book118.com)
风险管理与金融机构课后习题8-9章答案 - 百度文库 (baidu.com) |
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