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赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记

第34章能源商品衍生产品

34.1 农产品

农产品包括种植的产品（或由其产生的产品）；也包括与家畜有关的产品。与所有商品一样，农产品的价格是由市场供需决定的。库存-使用比例（stocks-to-use ratio），即年终库存量与该年度使用量的比例。一般情况下，这个比例是在20%~40%。该比例对价格波动率有很大影响：如果关于某个商品的这项比例较低，那么商品价格对供应的变化将会很敏感，因此波动率将会上升。
在农产品价格上假设某种均值回归性质是有道理的。
农产品价格常常会显示季节性，这是因为储存比较昂贵，而且产品储存的时间也是有限的。气候是决定大多数农产品的关键因素。农作物商品价格的波动率在收获季节之前往往是最高，而当产量确定后，波动率就会下降。在作物生长季节，随气候的变化，农产品价格所服从的过程往往显示出跳跃性。
许多交易的农作物产品是用来饲养家畜的。家畜的价格（或在屠宰后的价格）往往依赖于这些商品的价格，而这些商品的价格则受气候影响。
34.2 金属

另一类重要的商品是金属，它们的价格不受季节与气候影响。有些金属，比如铜，几乎总是用在产品加工上，所以应该将其分类为消费资产。
分析员通过关注储存水平来确定短期价格波动率。货币汇率波动也可能会导致价格波动，这是因为开采金属的国家往往不同于报出金属价格的国家。从长远来讲，金属的价格取决于其在不同生产过程中被使用的趋势，以及发现这种金属的新产源。勘探技术、开采方法、地缘政治、企业联合以及环保政策对金属价格也会有影响。
金属供应的一个可能来源是回收。
我们一般不假定作为投资资产的金属价格服从均值回归过程，因为均值回归过程将会给投资者一种套利的机会。作为消费资产的金属，有时可以假设其价格具有一些均值回归的性质。
34.3 能源产品

能源产品是最重要也是交易最活跃的商品之一。对于这些产品，有种种理由可以支持其价格服从均值回归过程的假设。
34.3.1 原油

原油市场是世界上最大的商品市场。10年期的固定价格供油合约已经在场外市场上流行了许多年。这些合约通常是以原油固定价格与原油浮动价格进行交换。
对原油定价的两种重要基准是布伦特原油（Brent crude oil，来自北海）和德州清油（West Texas Intermediiate，WTI）。
在场外市场上，几乎所有以股票或股指作为标的资产衍生产品的形式都有相应的以原油价格作为标的资产的衍生产品。互换、远期合约、期权都很普遍。在这些合约中，有时是需要现金交割，有时则需要实物交割（即交付原油）。
CME集团和洲际交易所（Intercontinental-Exchange，ICE）交易一些原油期货和原油期货期权合约。有些期货合约以现金交割，其他合约以实物交割。
34.3.2 天然气

在场外市场上，远期合约、期权以及互换合约都有交易。通常天然气卖方负责将天然气通过管道输送到指定的地点。
CME集团交易的天然气合约是交付100亿英国热量单位（British thermal unit）的天然气。
对天然气的需求具有季节性，而且受气候影响。
34.3.3 电力

电力是一种特殊的商品，原因是电力无法储存。
由于电力是无法储存的，电力的即期价格有时会发生非常大的变化。
目前CME集团交易电力价格上的期货合约，而且在场外市场上远期合约、期权以及互换的交易都很活跃。
在电力与天然气市场上，一种有趣的合约是所谓的摆动期权（swing option），也叫作收购付款期权（take-and-pay option）。在这种合约里，期权持有者在一个月内每天按指定价格必须购买最多与最少数量的电力是预先指定的，而且在整个月内的最多与最少数量也是预先指定的。在行权月内，期权持有者可以改变（或摆动）购买电力的速度，但一般情况下改变的次数是有限制的。
34.4 商品价格模型

34.4.1 简单过程

假设商品价格增长率的期望仅依赖于时间，而且商品价格的波动率是常数，那么商品价格的风险中性过程为

而且我们有

其中是期限为t的期货合约价格，表示在风险中性世界里的期望。于是

对两边关于时间求导数将会得到

34.4.2 均值回归

大多数商品价格服从均值回归过程，价格有被拉回到中心价值的倾向。在描述商品价格S所服从的风险中性过程时，更接近实际的过程是

这种过程包含了均值回归，而且与短期利率所假设的过程是类似的。这个过程有时也被写成

由伊藤公式可知这与上式的过程是等价的，其中。
三叉树方法可以用来构造S的树形，并且由此来确定使得的值。我们首先定义初始值为零，并且服从如下过程的变量X

我们可以构造X的三叉树。
变量服从与X同样的过程，只是它具有依赖时间的漂移项。通过变动节点的位置，我们可以将X的树形转换成关于的树形。
34.4.3 插值与季节性

当使用许多步数的树形时，我们需要在期货价格之间进行插值来得到相对于每一步末的期货价格。当价格呈现季节性时，插值的方式应当反映这种特点。假设我们需要的时间步长等于一个月，兼容季节性的一种简单做法是收集每月的即期价格历史数据，并计算价格的12月移动平均。然后可以计算一个季节性因素百分比（percentage seasonal factor），这个值等于1个月内即期价格与以该月为中心的12个月即期价格移动平均之比的平均值。
然后季节性因素百分比可以用来消除已知期货价格中的季节性。每个月消除季节性后的期货价格可以利用差值来得到。然后再利用季节性因素百分比将季节性加回到这些期货价格里，并且由此建立树形。
有时商品价格的波动会呈现季节性。我们可以监测波动率，并且估算波动率的季节性因素百分比，从而我们可以将参数换成。
34.4.4 跳跃

由于与气候相关的需求冲击，有些商品的价格（比如像电力和天然气）显示跳跃的特点。而另外一些商品（尤其是农产品），由于和气候有关的供应冲击，价格也往往会显示跳跃。我们可以引入跳跃项，那么即期价格所服从的过程变成了

其中是生成百分比跳跃的泊松过程（Poisson process）。这与描述股票价格的默顿混合跳跃-扩散模型相似。一旦跳跃频率与跳跃大小的概率分布被选定后，我们可以计算在将来时间t由于跳跃所引起的商品价格平均增长幅度。为了确定，在到期日为t到的期货价格中减去这个增长量之后，我们可以利用三叉树方法。蒙特卡罗模拟法可以用来实现这种模型。
34.4.5 其他模型

有时人们用更加复杂的模型来描述原油价格。如果y表示方便收益率，那么即期价格的比例漂移项为，其中r为短期无风险利率，描述即期价格过程的一种很自然的选择是

Gibson和Schwartz建议将方便收益率作为一个具有均值回归性质的过程

其中k和为常数，和是相关的维纳过程。为了能够与期货价格达到完全匹配，我们假设是时间t的函数。
对于天然气与电力价格，Eydeland和Geman提出了如下形式的随机波动率模型

其中a、b、c、d和e均为常数，和是相关的维纳过程。在假定b也是随机时，Geman用这种过程来描述原油的价格。
34.5 气候衍生产品

HDD：升温天数（Heating degree days）
CDD：降温天数（Cooling degree days）
1天的HDD定义成

而1天的CDD定义成

其中A是在当天某个指定的气象站处最高与最低温度的平均（计量单位为华氏度）。
场外市场上的典型衍生产品是收益依赖于在一个月累积HDD或CDD的远期合约或期权。在合约里常常会含有收益上限。
一天的HDD是度量在一天内取暖所需要的能源，一天的CDD是度量在一天内降温所需要的能源。大多气象衍生产品合约是在能源生产商与客户之间签订的。
在1999年9月，芝加哥商业交易所（CME）开始交易气候期货与气候期货上的欧式期权。合约的标的变量是某个气象站所观察的某个月的累积HDD和CDD。在月底一旦知道了HDD与CDD后，合约马上按现金形式交割。一份期货合约的大小是20乘以当月的累积HDD与CDD。目前CME为世界各地很多城市提供气候期货与期权，而且也提供在飓风、结霜、降雪上的期货与期权。
34.6 保险衍生产品

当衍生产品合约用于对冲目的时，它们有许多与保险合约相同的特征。两种合约的设计都是为了对不利事件提供保护，因此许多保险公司都有附属部门进行衍生产品交易，而且保险公司的许多业务与投资银行非常相似。
在对冲像飓风和地震这样的灾难性（CAT）风险敞口时，保险业传统的做法是进行所谓的再保险（reinsuarance）。再保险合约有多种形式。再保险提供者卖出了总损失上的牛市差价，即执行价格等于损失层低端值的看涨期权多头和执行价格等于损失层高端值的看涨期权空头。
有时CAT风险可能会引起巨额赔偿。安德鲁飓风与其他一些灾害性事件使保险/再保险的费用急剧上涨。
CAT债券是由保险公司的附属机构发行的债券，其利息比普通债券要高。与高利息交换的是债券持有人同意一种提供对超额损失再保险的合约。由债券的条款决定，债券的利息或本金（或两者）可以被用来支付赔偿。另一种覆盖这个超额损失层的做法是保险公司发行很大数量的债券，使得只有债券的利息受到影响。
34.7 气候与保险衍生产品定价

气候与保险衍生产品的一个明显特点是产品的收益中没有系统风险（即在市场上给予补偿的风险），这说明由历史数据所得到的估计值也可以同样用在风险中性世界里。因此气候与保险衍生产品可以通过以下方式定价：
（1）利用历史数据估计收益的期望值；
（2）按无风险利率对收益的期望值贴现。
气候与保险衍生产品的另一个关键特征是标的不确定性随时间增长的方式。对于股票价格，不确定性的增长大约与时间平方根成正比。股票价格在4年内的不确定性（以价格对数值的标准差来度量）大约是1年价格不确定性的2倍。对于商品价格，尽管有均值回归性质的作用，但是在4年内的不确定性（以价格对数值的标准差来度量）仍然比在1年内的不确定性高很多。对于气候，不确定性随时间的增长就很不明显。
现在考虑对累积HDD上期权的定价问题。我们可以搜集50年的历史数据，并由此来估计HDD的概率分布。这些数据可以用于吻合对数据正态分布，或者其他的概率分布，然后可以计算收益的期望值。将其按无风险利率贴现即可得出期权的价值。通过分析历史数据的趋向于考虑气象专家的预测，我们可以对这里的分析加以改进。
在保险方面，Litzenberger等人证明了CAT债券的收益与股票市场没有明显的相关性（这与我们想象的是一样的）。这也引证了气候衍生产品中没有系统风险，而且定价时可以利用保险公司所收集的精算数据来进行。
CAT债券一般会对高于通常水平的利率赋予很高的概率，对特大损失赋予低概率。这种证券的收益期望（考虑到可能的损失后）比无风险投资的收益要高。然而在一个很大的组合里CAT债券的风险（至少在理论上）可以完全得以分散，因此CAT债券具有改进风险-收益均衡关系的可能性。
34.8 能源生产商如何对冲风险

能源生产商面临两类风：一类是与能源市场价格有关的风险（价格风险），另一类是与能源被购买数量有关的风险（数量风险）。虽然价格会随着数量变化进行调节，但两者之间的关系并非完美。在构造对冲决策时，能源生产商必须将这两种风险都考虑在内。价格风险可以利用能源衍生产品进行对冲，而数量风险则可以用气候衍生产品进行对冲
定义：
Y：1个月的盈利；
P：1个月的平均能源价格；
T：1个月的相关气温变量（HDD或CDD）。
能源生产商可利用历史数据来得到一个最佳拟合线性回归方程

其中为误差项。能源生产商因此可以签订数量为的能源远期合约或期货合约以及数量为的气候远期合约或期货合约来对冲风险。以上的关系式也可以用于分析其他期权策略的有效性。

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