在 Fischer Black 和 Myron Scholes 在1973年发表的文章The Pricing of Options and Corporate Liabilities 之后, 关于资产收益波动率的研究便成为了衍生品定价和交易中的重要组成部分。相比较于Black-Scholes-Merton Model 中资产波动率恒定的假设, 现实中的资产价格波动率更容易受到资产种类和市场因素的影响, 继而影响相关衍生品的定价与交易，所以也催生了随机波动率 (Stochastic Volatility) 的应用. 在众多模型中, 最常被市场接受和运用的便有1993年由 Steven L. Heston 提出的 Heston Model, 和1994年由 Bruno Dupire 提出的 Local Volatility Model.
须知词汇和内容：
European call: 欧式看涨期权
Geometric Brownian motion: 几何布朗运动
Ito's lemma: 伊藤引理
Kolmogorov forward equation: 柯尔莫哥洛夫前向方程
Note: Kolmogorov forward equation 从数学上解释了转移密度函数(transition density function)随时间的演变. 对于一个 伊藤过程 (Ito Process), 有如下形式：
给定： ![]()
则有： ![]()
![]() 便是关于资产价格 ![]() 和时间 ![]() 的密度函数(transition density function).
模型假设
作为BS模型的一种延伸, Dupire 对资产价格演变的定义为：
![]()
![]() 无风险利率(risk-free rate)
![]() 股息 (dividend)
![]() 资产(股票) 价格
![]() 资产(股票) 收益波动率
![]() 代表布朗运动
即一种广义上的一种几何布朗运动(Geometric Brownian motion).
在此假设下, Dupire Local Volatility ![]() 是一个关于行权价格(K)与到期时间(T)的形式：
![]()
并有如下 Dupire Equation：
![]()
推导过程
贴现(discounting)：Dupire 假设了如下贴现因子: ![]() , 即所有的贴现由时间里的瞬时利率决定.
假设资产价格在时间 ![]() 的密度函数(density function) 为 ![]() , 可以将欧式看涨期权(European call)表示成如下表达式：
![]()
通过如上对期权价格公式, 可以对如下偏导数 (partial derivatives) 进行转化：
![]()
![]()
![]()
![]()
Kolmogorov forward equation：
将资产价格的演变代入到之前提到过的forward equation:
![]()
然后与 上述![]() 结合：
![]()
对如下 ![]() 部分进行积分：
![]()
![]()
![]()
由之前的偏导数，可以得到：
![]()
即：
![]()
![]()
对如下 ![]() 部分进行积分：
![]()
![]()
![]()
最后，把两个积分代入回原来的部分：
![]()
即之前提到的 Dupire Equation
将波动率移项后便可以得到：
![]() 即Dupire Local Volatility.
小结: 本文对Local Volatility Model 中 Dupire Equation进行了数学统计方向的推导. 其推导内容可谓是整个量化金融在波动率方面的一个重要发展史. 与传统的随机波动率模型不同, Dupire 更看重市场方面给资产波动率带来的影响, 即通过对市场资产的瞬时变化来对波动率进行一个建模, 并满足了市场上不同行权价下所形成的不相同的波动率的假设, 且对Black-Schores-Merton 的模型进行了延申. 其本身由于只需要资产价格变化来参与拟合, 也使得 Local Volatility 成为波动率拟合中一个常用的模型.
Reference
Hull, J.C. (2015) Options, Futures and Other Derivatives. 10th Edition
Lorenzo Bergomi, Stochastic volatility Modeling. Boca Raton : CRC Press, [2016] |
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