收益率曲线构造方法

收益率曲线描述了债券收益率和到期期限之间的关系。即期收益率曲线描述了零息债券的到期收益率。严格地定义收益率都需要考虑到期时间 这个值，这时候本质上就需要使用 作为到期时间，而不是使用 ，所以有时会出现一个负号。

一. 基本概念：

零息债券价格 : 对于在到之间的任意时刻的到期时刻为的零息债券的价格。
即期收益率(spot rate) ：到期时间年的零息债券的到期收益率。对于面值是1的零息债券，其价格等于 (年复利), 等于 (连续复利)。这个值也称为贴现因子(discount factor)，看做函数的话就是贴现函数。
远期收益率(forward rate) : 时间在到之间的到期收益率。在年复利的情况下，和即期收益率的关系是

在连续复利的情况下， , 因此有一个简单的表达式：

瞬时远期利率(instantaneous forward rate) : 可以看做在时刻瞬间的远期利率，即

它们之间的关系为 或者这个是使用瞬时远期复利最方便的方法。于是零息债券的价格

二. 静态拟合方法
利用曲线拟合的方法来静态拟合隐含的即时收益率曲线。主要步骤：

Step 1：假定贴现函数、即期利率或者瞬间远期利率中的一个的函数形式（包含参数）
Step 2：然后将债券分解成一系列的零息债券求得其价格，
Step 3：最小化真实值和拟合值之间的差距从而求得参数值。

假设债券的现金流为其中下标代表现金流的时间（距离到期时的时间），那么债券的估计价格为

上个式子分别对应使用贴现函数、即期利率和瞬间远期利率的时候，对于债券估计价值的计算公式。

最常用的模型就是NS模型及其扩展。
2.1 Nelson-Siegel 模型(NS模型)：
是假定瞬间远期利率的形式满足

其中参数表征长期渐进水平、起始水平、斜率、衰减率等指标。计算债券的即期收益率为

计算债券的折现函数为

2.2 Nelson-Siegel-Svensson 模型(NSS模型或SV模型):
NS模型在具有多个局部最大和最小的曲线拟合效果不好，于是Svensson在此基础上加上了一对新的参数

注意到当和比较接近的时候，NSS模型存在很强的多重共线性，很难将二者分开，于是有人提出了NSS的调整模型

之后的即时利率、零息债券价格和债券价格公式类似的求出。

2.3 Fisher-Nychka-Zervos 模型(FNZ模型)
对于瞬间远期收益率采用三次B样条函数的线性组合

这里每一个是一个三次B样条函数，其中节点总数+2。求得债券的价格后，采用加入惩罚项的方法对目标函数进行修正。设个真实债券价格为，而估计价格为则最大化目标函数

其中为的二阶导数，而是所有债券中最长剩余期限。对于可以人为指定值，也可以使用GVC方法来确定。

2.4 变量粗糙惩罚项方法(Variable Roughness Penalty, VRP)
对于贴现函数定义为一组基函数的线性组合

和FNZ模型类似，加入了惩罚项，于是最小化如下的函数

这里不是一个常数，而不是满足如下关系的函数

这里是三个参数。
注：目标函数的选择，可以通过最小化价格误差，也可以通过最小化到期收益率的误差（还可以对不同债券的误差设置不同的权重）。

三. 插值法
通过已知关键期限点，采用三次Hermite多项式插值。假设有个期限对应的收益率为 , 此外设置了收益率曲线在期限处的斜率为
那么对于
插值公式其中

注意到这样的满足

四. 动态拟合模型
使用随机分析工具对利率进行建模，分为均衡模型和无套利模型。常见的均衡模型包括Vasicek, CIR, FV模型等，常见的无套利模型包括Ho-Lee, Hull-White, BDT, BK, HJM模型等。

4.1 Vasicek模型
这是一种单因子模型，将即期利率满足如下随机过程

其中是均值回归速度，是短期利率回归的长期均值，是短期利率的波动率，是布朗运动。这里即期利率是假设服从Ornstein-Uhlenbeck过程。

4.2 Cox-Ingersoll-Ross模型(CIR模型)
Vasicek模型可能产生负利率，CIR模型将短期利率瞬间变动的波动率与利率水平的根号成正比，即

4.3 双因子模型、多因子模型
加入了新的解释因子，如有短期利率波动率、短期利率均值、长期利率、长期利率与短期利率之差等。代表性的就是Fong & Vasicek模型，加入了短期利率波动率因子：

其中决定了短期利率和波动率的均值回归速度，和是两个有相关性的布朗运动。

4.4 Ho-Lee 模型
最早的无套利模型，短期利率满足随机过程

该模型中，模型的参数是时间的待定函数，通过对当期的收益曲线进行拟合校正而得到无套利条件下的参数值。

4.5 Hull-White 模型
针对Vasicek模型无法满足市场真实利率期限结构和Ho-Lee模型没有均值回复的特点进行修改。形式如下

这里加入了Ho-Lee模型的漂移项，把Vasicek模型中的回归率和波动率变成时间的函数：回归率和波动率因子。此外加入指数，和可以分别看做是Vasicek和CIR模型的扩展。

4.6 Black-Derman-Toy 模型(BDT模型) 和 Black-Karasinski 模型(BK模型)
BDT模型假设即期利率呈对数正态分布，满足

模型会避免Ho-Lee和Hull-White模型中出现的负利率的情况，缺点是无法求助债券的定价公式。而BK模型对此做修改为

其中为长期利率平均水平。

4.7 Heath-Jarrow-Morton 模型(HJM模型)
HJM模型认为瞬间远期利率包含投资人对于未来的预期，故建模在而不是上。其满足

最后，贴一下各国央行（或财政部）构建国债收益率曲线的方法列表，来源于参考文献[1]。

参考资料：
[1] 吴国培, 吕进中, 陈宝泉, 张燕, 吴伟, 方晓炜.《国债收益率曲线构建方法：国际实践与启示》. 中国人民银行工作论文, 2016.
[2] Nelson, C., Siegel, A., “Parsimonious modeling of the Yield Curve”, Journal of Business 60(4), 1987 pp. 473-489.
[3] Svensson, L., “Estimating Forward Interest Rates with the Extended Nelson and Siegel Method”, Sveriges Riksbank Quarterly Review 3, 1995.
[4] 中债金融估值中心有限公司.《中债价格指标产品基本计算方法》, 2020.
[5] 林海, 郑振龙. 《利率期限结构研究述评》, 管理科学学报 10(1)，2007.

期权匿名回答 · 2022-1-4 07:56:33

请问下，拟合模型，二阶导的惩罚项那块儿，实际应用中非常取决于关键期限点的设定，请问这个怎么结果，如短端关键期限点密集，长端稀疏，对dt的积分就会有问题

收益率曲线构造方法

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