比特币期权权利金的Delta

比特币期权权利金的Delta

对比特币期权盈亏影响重大，却普遍受到忽视的一项属性。

今天我想和大家探讨一个平时鲜有涉及，但是对于数字货币期权实务操作的盈亏有着重大影响的课题。

其中会有一些公式推导，感兴趣的朋友可以细看，一同探讨。

纯关注交易的朋友可以重点看文字表述，直接跳过公式部分，了解一下结论。

好，那我们来展开今日的课题。

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使用哪个Delta?

如果我想保持整个期权、期货组合的Delta头寸中性，在Deribit的交易界面，我可以观察到3个数值。

1、页面右上角的Delta Total

2、期货交易页面中，永续与期货的币本位大小，即期货的Delta

3、期权交易页面中，期权的Delta Options。

好，我要把Delta调成中性，现在有两条路：
1、把Delta Total调至零
2、把期货的Delta调成期权Delta的负数，让两者互相抵消。

如果我们采用第二个方法，按照上述例子中的数据，期货还需要增加10.3410-7.5395=2.8015个Delta。而此时Delta Total就会变成0.0570+2.8015 = 2.8585。

也就是说做到了1，就无法做到2；做到了2就无法做到1。

那究竟应该用哪种方法对冲，才可以使得整个头寸的Delta中性呢？

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Deribit官网答疑

在Deribit网站提供的Options FAQ，提到了关于Delta Total的含义：

翻译一下其中的举例：

如果你买入一个Delta为0.50的看涨期权Call，为此支付了0.10 BTC的权利金，你的Delta Total会增加0.40。

当比特币的价格上涨1美元的时候，你的看涨期权头寸会获利0.50美元，但是你所支付的0.10 BTC权利金本身也会增值0.10美元（而这笔增值因为你已经把权利金支付出去了，你就没有赚到）。从而你购买这个看涨期权产生的Delta变化仅为0.40（Delta是头寸在标的每涨1美元时合约价值涨多少美元的意思）。

Delta Total的公式如下，我们选用Deribit在文档中第二种表述方式，比较直观：

即期货的Delta+期权的Delta-期权权利金标记价格。

买入期权，支付权利金，从而应该在Delta Total计算中减去期权权利金；

卖出期权，收到权利金，期权权利金标记价格为负数，减去该值，即会在Delta Total计算中加上所卖出期权权利金的绝对值。

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变动中的权利金如何影响Delta

好，下一个问题来了：

当你买入的看涨期权Delta和权利金分别从0.50、0.10 BTC，变成了0.70、0.20 BTC，此时头寸的Delta Total应该是0.70-0.10=0.60，还是0.70-0.20=0.50？

按照Deribit官方给出的公式，那应该是后者。也就是说，当期权权利金随着标的价格变动时，其对整个头寸的Delta影响也是发生变化的。

但是我只在开头支付了0.10个BTC呀，后面的变化我就没再付过钱呀，为什么后续权利金的变动也会影响整个头寸的Delta呢？这个问题，在Deribit FAQ的举例之中，没有得到阐述。

先给出结论，Deribit的Delta Total计算公式作为对冲基准是对的。

接下去我们就要进行推导了。

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BSM公式的简化

按照Black-Scholes-Merton期权定价公式，看涨期权的定价公式为：

(1)

N(x)为标准正态分布的累积概率分布函数

S 是标的资产的价格
K 是行权价
r 是无风险利率
e 是自然数即2.71828
T 为距离到期日的剩余时间（年化）

我们按照Deribit的处理方式，设定r=0, S=F，即用期货价格代替标的资产价格，对BSM公式进行简化：

(2)

上式对F求导，即为看涨期权的Delta，Call Delta = N(d1)
*详见附录。
d1和d2的公式如下，不过我们后续推导中用不到。方便各位量化宽客后续编程使用。

注意其中波动率Sigma也需要采用年化数据。

把公式(2)两边除以期货价格F，将看涨期权的计价由美元转为BTC:

(3)

将上式对F求导，得出比特币结算期权对标的价格变化的一阶敏感度：

(4)

*推导过程详见附录。▽

期货对冲

现在来考虑期货对冲端，反向合约的比特币价值为：

(5)

其中T为反向合约的美元手数，单位为1美元。做多合约的实质是卖出美元，卖方的比特币价值为负数，因此公式右侧有个负号。
按期货价格F对公式(5)求导，得出反向合约的比特币价值对标的价格变化的一阶敏感度：

(6)

当币本位计价的期权与期货对标的价格变化的一阶敏感度之和为零时，币本位Delta对冲完成，从而：

(7)

由公式(4)和公式(6)得到：

(8)

整理后，得到：

(9)

当反向合约的美元张数达到以上金额时，币本位Delta对冲完成。

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倒推验证Delta Total公式

我们通过倒推，来验证一下是否Delta Total = 0时，Delta对冲完成。

(10)

Futures Deltas, 公式(5)的负数，即看涨期货的Delta为正（比特币价值为负）
Futures_Delta = T / F

Options Deltas = N(d1)

Options Markprice Values, 公式(3)
Call_BTC = N(d1) - K x N(d2) / F
代入公式(10)

整理得到：

与公式(9)相同。由于整个计算过程是可逆的，互为充分必要条件，从而我们可以得出结论，当Delta Total的值等于零时，币本位头寸的Delta中性对冲完成。

而Delta Total中包括的 - Options Markprice Values这一项，意味着期权的权利金对币本位头寸Delta的影响是实时且动态的。买入期权，支付权利金，获得负Delta，卖出期权，收取权利金，获得正Delta。

所以为了完整对冲期权权利金对组合盈亏的影响，需要对变动中的币本位权利金金额进行跟踪。

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看跌期权Put的情况与一般化

Put的权利金Delta也可以通过相同的分析方法得到一样的结论。通过加权平均计算，可以把复杂持仓头寸时的Delta中性条件进行一般化。最后得出的结论均为Delta Total=0时，币本位Delta中性。

这个结论也意味着，权利金带来的Delta会动态地影响头寸的盈亏。

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如何利用权利金Delta的特性

权利金的Delta对于币本位玩家来说是个非常重要的特性，可以善加利用。

一个比较显著的例子是Long Put。

Long Put本身具备负Delta动态杠杆。

而Long Put支付权利金后获得的负Delta仓位，随着BTC-USD的下跌，Put仓位“赚币”速度变得更大，而且会随着下跌的推进加速放大。这笔Long Put权利金的负Delta仓位在币价下跌时会额外带来一份凸性的币本位盈利。（币本位下的正gamma）

在双重动态杠杆的加持下，Long Put对于做空方案来说是极其有利的。

权利金Delta的特性对Short Put、Long Call、Short Call如何影响，我在此先按下不表，留待读者发散思考一下。

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鸣谢

感谢王鸿鹏兄对数学公式推导上的鼎力相助！

感谢旺老师冼老师德瑞大学创造的良好平台让我有机会高效率学习！

附录：推导过程

核心等式SxN'(d1) - K x exp(-rT) x N'(d2) = 0的推导

准备阶段的公式
N'(x) = exp(-x^2/2)/sqrt(2xpai)
pai=3.14 为圆周率
d2=d1 - sigma x sqrt (T)

开始推导
SxN'(d1) - K x exp(-rT) x N'(d2)
= (sqrt(2xpai))^-1 (S x exp (-d1^2/2) - K x exp(-rT) x exp (-d2^2/2))
= exp(-d1^2/2) x (sqrt(2xpai))^-1 x (S - K x dxp (-rT) x exp ((d1^2-d2^2)/2))

其中
(d1^2-d2^2)/2
= 1/2 x (d1^2 - (d1^2 - 2 x d1 x sigma x sqrt (T) + sigma^2 x T))
= d1 x sigma x sqrt (T) - 1/2 x sigma^2 x T

而
d1 = [ln (S/K) + (r+sigma^2/2) x T] / sigma / sqrt(T)

从而
(d1^2-d2^2)/2
= ln(S/K) + (r+sigma^2/2) x T - 1/2 x sigma^2 x T
= ln(S/K) + rT

从而
exp ((d1^2-d2^2)/2)
= exp(ln(S/K) x exp (rT)
= S/K x exp(rT)

从而
S - K x exp (-rT) x exp ((d1^2-d2^2)/2)
= S - K x S/K
= 0

从而
SxN'(d1) - K x exp(-rT) x N'(d2) = 0 成立。

按照r=0, S=F, 则简化后也成立。

d1 = [ln (F/K) + 1/2 x sigma^2 x T] / sigma / sqrt(T)
d2=d1 - sigma x sqrt (T)
F x N'(d1) - K x N'(d2) = 0

Call Delta的推导

公式的准备
d1 = [ln(S/K) + (r+sigma^2/2)xT] / [sigma x sqrt(T)]
d2 = d1 - sigma x sqrt(T)

d d1/dS or d1' = 1 / [S x Sigma x Sqrt(T)]
d d2/dS or d2' = d d1/dS or d1'= 1 / [S x Sigma x Sqrt(T)]

开始推导
Call = S x N(d1) - K x exp (-rT) x N(d2)

对S求导后
Delta = N(d1) + SxN'(d1)xd1' - K x exp(-rT) x N'(d2)xd2'
= N(d1) + d1' x [SxN'(d1) - K x exp(-rT) x N'(d2)]

应用核心等式SxN'(d1) - K x exp(-rT) x N'(d2) = 0

Delta = N(d1)

币本位Call的Delta推导
Call_BTC = N(d1) - K/S x exp (-rT) x N(d2)

Delta_Call_BTC = N'(d1)xd1' - K x exp (-rT) x (N'(d2)xd2'/S - N(d2)/S^2)

应用核心等式SxN'(d1) - K x exp(-rT) x N'(d2) = 0
得到N'(d1) = K x exp(-rT) x N'(d2) / S
且由附录2，d1'=d2'

从而
Delta_Call_BTC
= d1' x K x exp(-rT) x N'(d2) / S - K x exp (-rT) x (d1'xN'(d2)/S - N(d2)/S^2)
= K x exp(-rT) / S^2 (d1'x S x N'(d2) - d1'x S x N'(d2) + N(d2))
= K x exp(-rT) / S^2 x N(d2)

按照r=0, S=F, 进行简化：

Delta_Call_BTC = K x N(d2) x F^-2

作者：Jeff Liang
2020年4月9日

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