毛骨悚然的“波动率微笑”

本文部分内容节选自：《宽客-华尔街顶级数量金融大师的另类人生》一书
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1976年，加州大学伯克利分校的教授Hayne Leland正在忧心美元贬值给经济和股市带来的严重打击。这一轮美元贬值也波及到了和Leland一样的学者薪资，在对未来充满忧虑的时候，Leland受兄长约翰的启发，根据BS公式（Black-Scholes期权定价公式），创造出了投资组合保险。
投资组合保险的思路是：如果整个股票租个的下跌风险可以被量化，而且所买的保险可以将其完全覆盖，那么风险就算无法完全消除，也可以被控制和管理。

依据这个思路，1981年Leland和一支金融工程师团队组建了Leland O’Brien Rubinstein Inc., LOR，到1987年，LOR的投资组合保险保护了500亿美元的资产，其中大多是养老金。
谁都没有想到，黑色星期一会突然降临。
1987年10月19日，星期一，芝加哥交易所开盘后15分钟，股指期货积聚了沉重卖压，几乎全部来自投资组合保险公司，股指期货大跌让指数套利者争相卖出，进一步促使指数大跌，而指数大跌让投资组合保险者不得不卖出期货，形成一个死循环。
10月19日交易时段的最后75分钟，跌势达到了最高潮，道指崩溃，一下子下跌300点，截至收盘，报收1738.74点，全日下跌508点。
在黑色星期一的摧残下，绝大多数套利者都成了惊弓之鸟，投资组合保险受到了严厉谴责，被认为是市场瘫痪的元凶。
从数学上来说，黑色星期一这种崩溃属于“27个标准差事件”，发生的概率为10的160次方分之一，也就是说：“宇宙到目前为止的寿命是200亿年，即使一个人从宇宙诞生的那一刻起一直活到现在，他这一辈子遇到一次这种急别的大跌的可能性也是微乎其微的。”
到底是什么原因造成了“黑色星期一”的大跌？
黑色星期一过去十年后，那个著名的对冲基金——长期资本管理公司（Long-Term Capital Management，LTCM）也在狂野的市场波动中折戟沉沙，随后，才有期权交易员发现：与平价看跌期权相比，深度价外的看跌期权的价格高得离谱。这些期权的价格图标显示出弯曲的纽结，呈现出中间低两边高的微笑的嘴形——毛骨悚然的“波动率微笑”，这才被人们发现。

按照B-S模型的假设，模型中的隐含波动率应该是与行权价格无关的常数。B-S公式和现代投资组合理论都表明，波动率微笑是不可能存在的。因为一旦出现，交易员就可以通过卖出这些深度价外的看跌期权获得丰厚的利润。
波动率微笑的名字来源于这个曲线的形状：当期权现价与行权价格偏离时，期权的隐含波动率上升，从而呈现出中间低两边高的微笑的嘴形。其中股票期权的波动率曲线可能会出现歪斜，也被称为波动率偏斜。

为什么会有“波动率微笑”

为什么会有“波动率微笑”现象，有两类解释，一是从传统BS期权定价公式基本前提假设条件中的设定与现实相比的不合理之处进行的解释，二则是从市场交易机制层面进行的解释。
1. 从传统BS期权定价公式与现实世界的对比来说：
1）标准BS模型假定标的资产价格服从对数正态分布，收益率服从正态分布。但是大量实证检验发现，现实市场中，金融资产的收益率分布更加显示出尖峰肥尾的特征。这种分布下，收益率出现极端值的概率高于正态分布，而在公式中采用收益率正态分布的前提假设，会低估了到期时期权价值变为实值与虚值出现的概率，相应也低估了深度实值和深度虚值期权的价格。

2） BS模型采用的是风险中性定价，并假设资产价格服从带漂移项的布朗过程，忽略了现实市场上资产价格在一定冲击下发生跳跃的可能。例如价格在期权临近到期前发生跳跃，且交易方根据变化后的价格调整标的资产头寸并持有到期，到期时复制组合与期权价值将可能出现较大偏差，使得期权一方面临额外风险。这种风险无法分散化，空方必须要求相应补偿，造成期权市场价格对理论价格的溢价。

2. 从市场交易机制进行的解释
1）杠杆效应。从理论上来看，期权从平值状态变为实值状态和虚值状态的概率应该基本相同，并且在平值状态时其时间价值最大。深度实值期权的Delta接近1，在投资中的杠杆作用最大，相应市场需求量很大。但是除非投资者预期标定资产的价格会有一个根本性的变动，一般不会出售深度实值期权，因此，供给量较小溢价较高。深度实值期权的溢价较高，其隐含波动率也较高。对相同执行价格的看涨期权和看跌期权，当一个处于深度实值状态时，另一个必然处于深度虚值状态。根据看涨看跌平价关系，这两个期权的波动率应当大致相同。可见，实值看涨期权的溢价也会造成虚值看跌期权的溢价，造成隐含波动率的“微笑”。
2）还有一种关于股票波动率微笑的解释是波动率微笑来源于交易员对股票市场暴跌的恐惧，在1987年10月之前，隐含波动率与执行价格之间没有太大关系，这种微笑的形状在其之后的股票大跌之后才存在，马克鲁宾斯坦认为交易员对市场巨幅动荡的恐惧，是他们对深度虚值看跌期权赋予了较大的价值，造成了较高的波动率，S&P500股指下跌往往伴随着波动率倾斜程度的增加，为以上解释提供了证据。

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