期权delta与到期时间的关系如何用数学公式推导出来?

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潜心前行   2018-9-25 22:27   17022   1
期权,delta对冲,金融衍生品
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Big Brother  3级会员 | 2018-9-25 22:27:14 发帖IP地址来自
对B-S公式求一下导就出来……



这不就是数学公式吗?看不懂函数
的意思吗?标准正态分布变量的累积概率分布函数而已。这一函数等于服从标准正态分布的变量小于
的概率:

进一步参考资料:
https://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model
我还是从直观上解释一下期权剩余时间对平值附近期权Delta的影响吧:
在对抗双方分数接近的体育竞技比赛中,最后几分钟会变得异常激烈,这并非是因为参赛选手跑得更快或者更卖力,而是因为一个策略性的因素变得越来越重要了,这个因素就是:时间。领先的一方希望时间过得点,最好毫无悬念地锁定微弱优势胜利结束比赛;落后的一方,希望珍贵的时间慢点流逝,好让他们扳回比分,距离比赛结束时间越长,落后一方力挽狂澜的机会就越大。
尽管数学上不精准,交易员对Delta的定义(交易员对Delta的定义:Delta表示的是期权到期时成为实值的概率。)却帮助我们洞悉时间是如何影响期权Delta的。距离期权到期时间越长,越不能确定该期权在到期时究竟是价内、价外还是平价期权。从另一方面看,无论价内期权还是价外期权的Delta,都反映了他们到期状态的不确定性,期权的到期时间越长,其Delta越趋向于0.5。事实上,一个0.5的Delta代表了最大限度的不确定性,和丢硬币一个道理。
距离到期日越远,期权Delta越趋近于0.5。特别地,在到期当日,Delta相当确定,是生存或者死亡,要么是1,要么是0;要么是股票,要么一无所有。

时,
,所以

最后,我想提醒的是,对于理解Delta来说,凡是死抠数学公式的,都是耍流氓。之所以是耍流氓,是因为Delta这一概念的出现时间,要比B-S定价模型、二叉树定价模型等现在广泛应用的数学模型更早。
顺便给出Dan Passarelli对期权Delta的四种定义,及我对这些定义的注释(括号内为我的注释):
1、当标的股票价格变动时,对应的期权价格变化。(不需要借助数学定价模型,仅从统计上就可以得到。)
2、期权价值与股票价格关系曲线图的一次导数。(需要借助数学定价模型,即数学意义上的解释。)
3、期权头寸和标的股票之间的等量关系。(不需要借助数学定价模型,而且由此可以引出Delta对冲的思想。)
4、期权在到期时成为价内期权(ITM)的概率。(交易员对Delta的定义,即部分讲解BSM定价公式的书中,对N(d1)的解释,但对于交易员来说,这个定义的出现要早于BSM公式。)
四种定义更详细的论述见《期权希腊参数在交易中的应用》,Dan Passarelli 这本书值得阅读,尤其适合看见数学公式就发怵的读者,这本书居然没有用一个像样的数学公式就把希腊值讲的入木三分,更重要的是能够从交易本身进行剖析!
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